転置行列

行列Aの行と列を入れ替えて作られる行列をAの転置行列といい， ${\displaystyle {}^{t}A}$ と表す．

${\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right)}$ のとき， ${\displaystyle {}^{t}A=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{21}& \cdots & a_{m1}\\ a_{12}& a_{22}& \cdots & a_{m2}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{1n}& a_{2n}& \cdots & a_{nm}\end{array}\right)}$ となる．

転置行列では行列の成分において

${\displaystyle a_{ij}=a_{ji}}$

が成り立つ．

■具体例

${\displaystyle A=\left(\begin{array}{llll}1\hfill & 2\hfill & 3\hfill & 4\hfill \\ 5\hfill & 6\hfill & 7\hfill & 8\hfill \\ 9\hfill & 10\hfill & 11\hfill & 12\hfill \end{array}\right)}$ のとき，${\displaystyle {}^{t}A=\left(\begin{array}{ccc}1& 5& 9\\ 2& 6& 10\\ 3& 7& 11\\ 4& 8& 12\end{array}\right)}$となる．

■転置行列の性質

●${\displaystyle {}^t\left({}^{t}A\right)=A}$⇒証明

●${\displaystyle {}^t\left(A+B\right)=}$${\displaystyle {}^{t}A+}$${\displaystyle {}^{t}B}$  ⇒証明

●${\displaystyle {}^t\left(\alpha A\right)=\alpha }$ ${\displaystyle {}^{t}A}$  ⇒証明

●${\displaystyle {}^t\left(AB\right)=}$ ${\displaystyle {}^{t}B}$${\displaystyle {}^{t}A}$  ⇒証明

 

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最終更新日： 2026年6月22日