行列式の和の性質の証明

$| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{t 1} + b_{t 1} & a_{t 2} + b_{t 2} & \dots & a_{t n} + b_{t n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{matrix} |$

行列式の定義より

$= \sum_{n} sgn (\begin{matrix} 1 & \dots & t & \dots & n \\ i_{1} & \dots & i_{t} & \dots & i_{n} \end{matrix}) a_{11} \cdot \dots \cdot (a_{t i_{t}} + b_{t i_{t}}) \cdot \dots \cdot a_{n i_{n}}$

$= \sum_{n} sgn (\begin{matrix} 1 & \dots & t & \dots & n \\ i_{1} & \dots & i_{t} & \dots & i_{n} \end{matrix}) (a_{11} \cdot \dots \cdot a_{t i_{t}} \cdot \dots \cdot a_{n i_{n}} + a_{11} \cdot \dots \cdot b_{t i_{t}} \cdot \dots \cdot a_{n i_{n}})$

$= \sum_{n} sgn (\begin{matrix} 1 & \dots & t & \dots & n \\ i_{1} & \dots & i_{t} & \dots & i_{n} \end{matrix}) a_{11} \cdot \dots \cdot a_{t i_{t}} \cdot \dots \cdot a_{n i_{n}}$ $+ \sum_{n} sgn (\begin{matrix} 1 & \dots & t & \dots & n \\ i_{1} & \dots & i_{t} & \dots & i_{n} \end{matrix}) a_{11} \cdot \dots \cdot b_{t i_{t}} \cdot \dots \cdot a_{n i_{n}}$

行列式の定義より

$= | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{t 1} & a_{t 2} & \dots & a_{t n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{matrix} |$ $+ | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ b_{t 1} & b_{t 2} & \dots & b_{t n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{matrix} |$

転置の性質 $| A | = | {}^{t}A |$ より，同様のことが列でも成り立つ．

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最終更新日： 2022年10月12日