# 行列式の行または列の入れ替えの性質の証明

$A=\left({a}_{ij}\right)=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& {a}_{12}& \cdots & {a}_{1n}\\ {a}_{21}& {a}_{22}& \cdots & {a}_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ {a}_{n1}& {a}_{n2}& \cdots & {a}_{nn}\end{array}\right)$

$s$ 行と $t$ 行を入れ替えた行列を行列 $B$ とする．

$B=\left({b}_{ij}\right)=\left(\begin{array}{cccc}{b}_{11}& {b}_{12}& \cdots & {b}_{1n}\\ {b}_{21}& {b}_{22}& \cdots & {b}_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ {b}_{n1}& {b}_{n2}& \cdots & {b}_{nn}\end{array}\right)$

とおくと，行の番号$i$

$i\ne s$$i\ne t$ のとき

${b}_{ij}={a}_{ij}$

$i=s$ のとき

${b}_{sj}={a}_{tj}$

$i=t$ のとき

${b}_{tj}={a}_{sj}$

となる．

$|B|=\sum sgn\left(\begin{array}{ccccccc}1& \cdots & s& \cdots & t& \cdots & n\\ {i}_{1}& \cdots & {i}_{s}& \cdots & {i}_{t}& \cdots & {i}_{n}\end{array}\right){b}_{1{i}_{1}}\cdots {b}_{s{i}_{s}}\cdots {b}_{t{i}_{t}}\cdots {b}_{n{i}_{n}}$

$=\sum sgn\left(\begin{array}{ccccccc}1& \cdots & s& \cdots & t& \cdots & n\\ {i}_{1}& \cdots & {i}_{s}& \cdots & {i}_{t}& \cdots & {i}_{n}\end{array}\right){a}_{1{i}_{1}}\cdots {a}_{t{i}_{s}}\cdots {a}_{s{i}_{t}}\cdots {a}_{n{i}_{n}}$

${a}_{t{i}_{s}}$${a}_{s{i}_{t}}$を入れ替える．

$=\sum sgn\left(\begin{array}{ccccccc}1& \cdots & s& \cdots & t& \cdots & n\\ {i}_{1}& \cdots & {i}_{s}& \cdots & {i}_{t}& \cdots & {i}_{n}\end{array}\right){a}_{1{i}_{1}}\cdots {a}_{s{i}_{t}}\cdots {a}_{t{i}_{s}}\cdots {a}_{n{i}_{n}}$

$\left(\begin{array}{ccccccc}1& \cdots & s& \cdots & t& \cdots & n\\ {i}_{1}& \cdots & {i}_{s}& \cdots & {i}_{t}& \cdots & {i}_{n}\end{array}\right)$$=\left(\begin{array}{ccccccc}1& \cdots & s& \cdots & t& \cdots & n\\ {i}_{1}& \cdots & {i}_{t}& \cdots & {i}_{s}& \cdots & {i}_{n}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}s& t\end{array}\right)$より

$=\sum \mathrm{sgn}\left\{\left(\begin{array}{ccccccc}1& \cdots & s& \cdots & t& \cdots & n\\ {i}_{1}& \cdots & {i}_{t}& \cdots & {i}_{s}& \cdots & {i}_{n}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}s& t\end{array}\right)\right\}{a}_{1{i}_{1}}\cdots {a}_{s{i}_{t}}\cdots {a}_{t{i}_{s}}\cdots {a}_{n{i}_{n}}$

$=\sum \left\{-\mathrm{sgn}\left(\begin{array}{ccccccc}1& \cdots & s& \cdots & t& \cdots & n\\ {i}_{1}& \cdots & {i}_{t}& \cdots & {i}_{s}& \cdots & {i}_{n}\end{array}\right){a}_{1{i}_{1}}\cdots {a}_{s{i}_{t}}\cdots {a}_{t{i}_{s}}\cdots {a}_{n{i}_{n}}\right\}$

$=-\sum \mathrm{sgn}\left(\begin{array}{ccccccc}1& \cdots & s& \cdots & t& \cdots & n\\ {i}_{1}& \cdots & {i}_{t}& \cdots & {i}_{s}& \cdots & {i}_{n}\end{array}\right){a}_{1{i}_{1}}\cdots {a}_{s{i}_{t}}\cdots {a}_{t{i}_{s}}\cdots {a}_{n{i}_{n}}$

$=-|A|$

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