定数倍の性質の証明

行列 $A$ の $t$ 行の各成分を $c$ 倍した行列を $B$ とする．

$A = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ c a_{t 1} & c a_{t 2} & \dots & c a_{t n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{matrix})$

$B = (\begin{matrix} b_{11} & b_{12} & \dots & b_{1 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ b_{t 1} & b_{t 2} & \dots & b_{t n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ b_{n 1} & b_{n 2} & \dots & b_{n n} \end{matrix})$ $= (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ c a_{t 1} & c a_{t 2} & \dots & c a_{t n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{matrix})$

とおく．

行列式の定義より

$| B | = \sum_{n} sgn (\begin{matrix} 1 & \dots & t & \dots & n \\ i_{1} & \dots & i_{t} & \dots & i_{n} \end{matrix}) b_{1 i_{1}} \cdot \dots \cdot b_{t i_{t}} \cdot \dots \cdot b_{n i_{n}}$

となる．これを以下のように式変形をする．

$= \sum_{n} sgn (\begin{matrix} 1 & \dots & t & \dots & n \\ i_{1} & \dots & i_{t} & \dots & i_{n} \end{matrix}) a_{1 i_{1}} \cdot \dots \cdot (c a_{t i_{t}}) \cdot \dots \cdot a_{n i_{n}}$

$= c \sum_{n} sgn (\begin{matrix} 1 & \dots & t & \dots & n \\ i_{1} & \dots & i_{t} & \dots & i_{n} \end{matrix}) a_{1 i_{1}} \cdot \dots \cdot a_{t i_{t}} \cdot \dots \cdot a_{n i_{n}}$

$= c | A |$

以上より

$| B | = c | A |$

転置の性質 $| A | = | {}^{t}A |$ より， $t$ 列を $c$ 倍しした場合も同様にして証明できる．

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最終更新日： 2022年8月27日