行列式の次数下げ　その1

$|\begin{matrix} a_{11} & \dots & a_{1 n} & 0 & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & \dots & a_{n n} & 0 & \dots & 0 \\ c_{11} & \dots & c_{1 n} & b_{11} & \dots & b_{1 m} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ c_{m 1} & \dots & c_{m n} & b_{m 1} & \dots & b_{m m} \end{matrix}|$ $= | \begin{matrix} a_{11} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n 1} & \dots & a_{n n} \end{matrix} | \cdot | \begin{matrix} b_{11} & \dots & b_{1 m} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ b_{m 1} & \dots & b_{m m} \end{matrix} |$ 　･･････(1)

の関係が成り立つ．

■導出

A = | \begin{matrix} a_{11} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n 1} & \dots & a_{n n} \end{matrix} |

，

n

次の正方行列

B = | \begin{matrix} b_{11} & \dots & b_{1 m} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ b_{m 1} & \dots & b_{m m} \end{matrix} |

，

m

次の正方行列

C = | \begin{matrix} c_{11} & \dots & c_{1 n} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ c_{m 1} & \dots & c_{m n} \end{matrix} |

[m, n]

型行列

とおくと(1)は

$| \begin{matrix} A & O \\ C & B \end{matrix} | = | A | \cdot | B |$ 　･･････(2)

$n = 1$ の時，(1)の左辺は

$|\begin{matrix} a_{11} & 0 & \dots & 0 \\ c_{11} & b_{11} & \dots & b_{1 m} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ c_{m 1} & b_{m 1} & \dots & b_{m m} \end{matrix}|$ 　･･････(3)

となる．

(3)を1行で展開すると

$= a_{11} \times {(- 1)}^{1 + 1} | \begin{matrix} b_{11} & \dots & b_{1 m} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ b_{m 1} & \dots & b_{m m} \end{matrix} |$ $= a_{11} | \begin{matrix} b_{11} & \dots & b_{1 m} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ b_{m 1} & \dots & b_{m m} \end{matrix} |$ 　･･････(4)

となり(1)が成り立つ．

$n = k - 1$ の時，(1)が成り立つと仮定する.

すなわち

$|\begin{array}{l} a_{11} & \dots & a_{1 k - 1} & 0 & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{k - 11} & \dots & a_{k - 1 k - 1} & 0 & \dots & 0 \\ c_{11} & \dots & c_{1 k - 1} & b_{11} & \dots & b_{1 m} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ c_{m 1} & \dots & c_{m k - 1} & b_{m 1} & \dots & b_{m m} \end{array}|$ $= | \begin{matrix} a_{11} & \dots & a_{1 k - 1} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{k - 1 k - 1} & \dots & a_{k - 1 k} \end{matrix} | \cdot | \begin{matrix} b_{11} & \dots & b_{1 m} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ b_{m 1} & \dots & b_{m m} \end{matrix} |$

$= | A^{'} | | B |$ 　･･････(5)

(ただし， $A^{'}$ は $k - 1$ 次の行列 )

(5)が成り立つと仮定する．

$n = k$ の時(1)の左辺は

$|\begin{matrix} a_{11} & \dots & a_{1 k} & 0 & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{k 1} & \dots & a_{k k} & 0 & \dots & 0 \\ c_{11} & \dots & c_{1 k} & b_{11} & \dots & b_{1 m} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ c_{m 1} & \dots & c_{m k} & b_{m 1} & \dots & b_{m m} \end{matrix}|$ 　･･････(6)

となる．(6)を1行で展開すると

$= a_{11} \times {(- 1)}^{1 + 1} |\begin{matrix} a_{22} & \dots & a_{2 n} & 0 & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n 2} & \dots & a_{k k} & 0 & \dots & 0 \\ c_{12} & \dots & c_{1 k} & b_{11} & \dots & b_{1 m} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ c_{m 2} & \dots & c_{m k} & b_{m 1} & \dots & b_{m m} \end{matrix}|$ $+ a_{12} \times {(- 1)}^{1 + 2} |\begin{matrix} a_{21} & a_{23} & \dots & a_{2 k} & 0 & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{k 1} & a_{n 3} & \dots & a_{k k} & 0 & \dots & 0 \\ c_{11} & c_{13} & \dots & c_{1 k} & b_{11} & \dots & b_{1 m} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ c_{m 1} & c_{m 3} & \dots & c_{m k} & b_{m 1} & \dots & b_{m m} \end{matrix}|$ $+ \dots + a_{1 k} \times {(- 1)}^{1 + k} |\begin{matrix} a_{21} & \dots & a_{2 k - 1} & 0 & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ & 0 \\ a_{k 1} & \dots & a_{k k - 1} & 0 & \dots & 0 \\ c_{11} & \dots & c_{1 k - 1} & b_{11} & \dots & b_{1 m} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ c_{m 1} & \dots & c_{m k - 1} & b_{m 1} & \dots & b_{m m} \end{matrix}|$ 　･･････(7)

となる． $A$ の1行と $i$ 列を除いた行列を $A_{1 i}$ ， $C$ の $i$ 列を除いた行列を $C_{i}$ と表わすことにすると，(7)は

$= a_{11} \times {(- 1)}^{1 + 1} |\begin{matrix} A_{11} & O \\ C_{1} & B \end{matrix}|$ $+ a_{12} \times {(- 1)}^{1 + 2} |\begin{matrix} A_{12} & O \\ C_{2} & B \end{matrix}| + \dots$ $+ a_{1 k} \times {(- 1)}^{1 + k} |\begin{matrix} A_{1 k} & O \\ C_{k} & B \end{matrix}|$

$= \sum_{i = 1}^{k} a_{1 i} \times {(- 1)}^{1 + i} |\begin{matrix} A_{1 i} & O \\ C_{i} & B \end{matrix}|$ 　･･････(8)

となる．

(8)に含まれる $|\begin{matrix} A_{1 i} & O \\ C_{i} & B \end{matrix}|$ は(5)より

$|\begin{matrix} A_{1 i} & O \\ C_{i} & B \end{matrix}| = |A_{1 i}| \cdot |B|$ 　･･････(9)

となる．(9)を(8)に代入すると

$= \sum_{i = 1}^{k} a_{1 i} \times {(- 1)}^{1 + i} \times |A_{1 i}| \cdot |B|$ 　･･････(10)

となる．

$| A |$ を1行で展開すると

$| A |$ $= \sum_{i = 1}^{k} a_{1 i} \times {\tilde{a}}_{1 i}$ $= \sum_{i = 1}^{k} a_{1 i} \times {(- 1)}^{1 + i} | A_{1 i} |$ 　･･････(11)

となる．(11)を(10)に代入すると

$= | A | \cdot | B |$ 　･･････(12)

よって

$|\begin{matrix} a_{11} & \dots & a_{1 n} & 0 & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & \dots & a_{n n} & 0 & \dots & 0 \\ c_{11} & \dots & c_{1 n} & b_{11} & \dots & b_{1 m} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ c_{m 1} & \dots & c_{m n} & b_{m 1} & \dots & b_{m m} \end{matrix}|$ $= | \begin{matrix} a_{11} & \dots & a_{1 k} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{k 1} & \dots & a_{k k} \end{matrix} | \cdot | \begin{matrix} b_{11} & \dots & b_{1 m} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ b_{m 1} & \dots & b_{m m} \end{matrix} |$

が導かれ， $n = k - 1$ の時(1)が成り立つと仮定すると $n = k$ の時も(1)式が成り立つ．

以上より，数学的帰納法より，すべての $n$ で(1)は成り立つ．

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最終更新日： 2023年2月11日

行列式の次数下げ その1

■導出

行列式の次数下げ　その1