行列式の次数下げ　その2

$| \begin{matrix} 0 & \dots & 0 & a_{11} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & \dots & 0 & a_{n 1} & \dots & a_{n n} \\ b_{11} & \dots & b_{1 m} & c_{11} & \dots & c_{1 n} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ b_{m 1} & \dots & b_{m m} & c_{m 1} & \dots & c_{m n} \end{matrix} |$ $= {(- 1)}^{m n} | \begin{matrix} a_{11} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n 1} & \dots & a_{n n} \end{matrix} | \cdot | \begin{matrix} b_{11} & \dots & b_{1 m} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ b_{m 1} & \dots & b_{m m} \end{matrix} |$ 　･･････(1)

の関係が成り立つ．

■導出

$A = | \begin{matrix} a_{11} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n 1} & \dots & a_{n n} \end{matrix} |$ ，

$n$ 次の正方行列

$B = | \begin{matrix} b_{11} & \dots & b_{1 m} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ b_{m 1} & \dots & b_{m m} \end{matrix} |$ ，

$m$ 次の正方行列

$C = | \begin{matrix} c_{11} & \dots & c_{1 n} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ c_{m 1} & \dots & c_{m n} \end{matrix} |$

$[m, n]$ 型行列

とおくと(1)は

$| \begin{matrix} O & A \\ B & C \end{matrix} | = {(- 1)}^{m n} | A | \cdot | B |$ 　･･････(2)

$n = 1$ の時，(1)の左辺は

$| \begin{matrix} 0 & \dots & 0 & a_{11} \\ b_{11} & \dots & b_{1 m} & c_{11} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ b_{m 1} & \dots & b_{m m} & c_{m 1} \end{matrix} |$ 　･･････(3)

となる．

(3)を1行で展開すると

$= a_{11} \times {(- 1)}^{1 + m + 1} | \begin{matrix} b_{11} & \dots & b_{1 m} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ b_{m 1} & \dots & b_{m m} \end{matrix} |$ $= {(- 1)}^{m \times 1} a_{11} | \begin{matrix} b_{11} & \dots & b_{1 m} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ b_{m 1} & \dots & b_{m m} \end{matrix} |$ 　･･････(4)

(∵ ${(- 1)}^{1 + m + 1} = {(- 1)}^{m + 2}$ $= {(- 1)}^{m} \cdot {(- 1)}^{2}$ $= {(- 1)}^{m}$ $= {(- 1)}^{m \times 1}$ )

となり(1)が成り立つ．

$n = k - 1$ の時，(1)が成り立つと仮定する.

すなわち

$| \begin{array}{l} 0 & \dots & 0 & a_{11} & \dots & a_{1 k - 1} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & \dots & 0 & a_{k - 11} & \dots & a_{k - 1 k - 1} \\ b_{11} & \dots & b_{1 m} & c_{11} & \dots & c_{1 k - 1} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ b_{m 1} & \dots & b_{m m} & c_{m 1} & \dots & c_{m k - 1} \end{array} |$ $= {(- 1)}^{m (k - 1)} | \begin{matrix} a_{11} & \dots & a_{1 k - 1} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{k - 1 k - 1} & \dots & a_{k - 1 k} \end{matrix} | \cdot | \begin{matrix} b_{11} & \dots & b_{1 m} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ b_{m 1} & \dots & b_{m m} \end{matrix} |$

$= {(- 1)}^{m (k - 1)} | A^{'} | | B |$ 　･･････(5)

(ただし， $A^{'}$ は $k - 1$ 次の行列 )

(5)が成り立つと仮定する．

$n = k$ の時(1)の左辺は

$|\begin{matrix} 0 & \dots & 0 & a_{11} & \dots & a_{1 k} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & \dots & 0 & a_{k 1} & \dots & a_{k k} \\ b_{11} & \dots & b_{1 m} & c_{11} & \dots & c_{1 k} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ b_{m 1} & \dots & b_{m m} & c_{m 1} & \dots & c_{m k} \end{matrix}|$ 　･･････(6)

となる．(6)を1行で展開すると

$= a_{11} \times {(- 1)}^{1 + m + 1} | \begin{matrix} 0 & \dots & 0 & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & \dots & 0 & a_{n 2} & \dots & a_{k k} \\ b_{11} & \dots & b_{1 m} & c_{12} & \dots & c_{1 k} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ b_{m 1} & \dots & b_{m m} & c_{m 2} & c_{m k} \end{matrix} |$ $+ a_{12} \times {(- 1)}^{1 + m + 2} | \begin{matrix} 0 & \dots & 0 & a_{21} & a_{23} & \dots & a_{2 k} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ \\ 0 & \dots & 0 & a_{k 1} & a_{n 3} & \dots & a_{k k} \\ b_{11} & \dots & b_{1 m} & c_{11} & c_{13} & \dots & c_{1 k} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ b_{m 1} & \dots & b_{m m} & c_{m 1} & c_{m 3} & \dots & c_{m k} \end{matrix} |$ $+ \dots + a_{1 k} \times {(- 1)}^{1 + m + k} | \begin{matrix} 0 & \dots & 0 & a_{21} & \dots & a_{2 k - 1} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ \\ 0 & \dots & 0 & a_{k 1} & \dots & a_{k k - 1} \\ b_{11} & \dots & b_{1 m} & c_{11} & \dots & c_{1 k - 1} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ b_{m 1} & \dots & b_{m m} & c_{m 1} & \dots & c_{m k - 1} \end{matrix} |$ 　･･････(7)

となる． $A$ の1行と $i$ 列を除いた行列を $A_{1 i}$ ， $C$ の $i$ 列を除いた行列を $C_{i}$ と表わすことにすると，(7)は

$= a_{11} \times {(- 1)}^{1 + m + 1} | \begin{matrix} O & A_{11} \\ B & C_{1} \end{matrix} |$ $+ a_{12} \times {(- 1)}^{1 + m + 2} | \begin{matrix} O & A_{12} \\ B & C_{2} \end{matrix} | + \dots$ $+ a_{1 k} \times {(- 1)}^{1 + m + k} | \begin{matrix} O & A_{1 k} \\ B & C_{k} \end{matrix} |$

$= \sum_{i = 1}^{k} a_{1 i} \times {(- 1)}^{1 + m + i} | \begin{matrix} O & A_{1 i} \\ B & C_{i} \end{matrix} |$ 　･･････(8)

となる．

(8)に含まれる $| \begin{matrix} O & A_{1 i} \\ B & C_{i} \end{matrix} |$

は(5)より

$| \begin{matrix} O & A_{1 i} \\ B & C_{i} \end{matrix} | = {(- 1)}^{m (k - 1)} | A_{1 i} | \cdot | B |$ 　･･････(9)

となる．(9)を(8)に代入すると

$= \sum_{i = 1}^{k} a_{1 i} \times {(- 1)}^{1 + m + i} \times {(- 1)}^{m (k - 1)} | A_{1 i} | \cdot | B |$ 　･･････(10)

となる．

$| A |$ を1行で展開すると

$| A |$ $= \sum_{i = 1}^{k} a_{1 i} \times {\tilde{a}}_{1 i}$ $= \sum_{i = 1}^{k} a_{1 i} \times {(- 1)}^{1 + i} | A_{1 i} |$ 　･･････(11)

となる．(11)を(10)に代入すると

$= {(- 1)}^{m} \times {(- 1)}^{m (k - 1)} | A | \cdot | B |$ $= {(- 1)}^{m k} | A | \cdot | B |$ 　･･････(12)

よって

$| \begin{matrix} 0 & \dots & 0 & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & \dots & 0 & a_{n 2} & \dots & a_{k k} \\ b_{11} & \dots & b_{1 m} & c_{12} & \dots & c_{1 k} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ b_{m 1} & \dots & b_{m m} & c_{m 2} & \dots & c_{m k} \end{matrix} |$ $= {(- 1)}^{m k} | \begin{matrix} a_{11} & \dots & a_{1 k} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{k 1} & \dots & a_{k k} \end{matrix} | \cdot | \begin{matrix} b_{11} & \dots & b_{1 m} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ b_{m 1} & \dots & b_{m m} \end{matrix} |$

が導かれ， $n = k - 1$ の時(1)が成り立つと仮定すると $n = k$ の時も(1)式が成り立つ．

以上より，数学的帰納法より，すべての $n$ で(1)は成り立つ．

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最終更新日： 2023年2月11日

行列式の次数下げ その2

■導出

行列式の次数下げ　その2