2次元回転行列の導出 (derivation of 2D rotation matrix)

2次元直交座標平面において，原点を中心に ${\displaystyle \theta }$ だけ回転する変換を表す回転行列を ${\displaystyle R(\theta )}$ とすると，基本ベクトル ${\displaystyle i=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)}$ ， ${\displaystyle j=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)}$ は ${\displaystyle R(\theta )}$ によって，

${\displaystyle R(\theta )i=R(\theta )\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)}$ ${\displaystyle =\left(\begin{array}{c}\cos \theta \\ \sin \theta \end{array}\right)}$

${\displaystyle R(\theta )j=R(\theta )\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)}$ ${\displaystyle =\left(\begin{array}{c}-\sin \theta \\ \cos \theta \end{array}\right)}$

のように変換される．このことから，一般のベクトル ${\displaystyle r=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)}$ ${\displaystyle =xi+yj}$ を ${\displaystyle R(\theta )}$ によって変換すると

${\displaystyle R(\theta )r=R(\theta )(xi+yj)}$${\displaystyle =xR(\theta )i+yR(\theta )j}$ ${\displaystyle =x\left(\begin{array}{c}\cos \theta \\ \sin \theta \end{array}\right)+y\left(\begin{array}{c}-\sin \theta \\ \cos \theta \end{array}\right)}$ ${\displaystyle =\left(\begin{array}{c}x\cos \theta -y\sin \theta \\ x\sin \theta +y\cos \theta \end{array}\right)}$ ${\displaystyle =\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)}$

となるので，

${\displaystyle R(\theta )=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)}$

である．

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最終更新日：2023年1月13日