実対称行列の固有値

■定理

実対称行列 ${\displaystyle A}$ の固有値はすべて実数である.

■証明

実対称行列${\displaystyle A}$ の固有値を${\displaystyle \lambda }$ ，固有ベクトルを${\displaystyle x}$ とすると

${\displaystyle Ax=\lambda x}$

の関係がある．

${\displaystyle x\cdot \left(Ax\right)={}^{t}x\left(\overline{Ax}\right)}$${\displaystyle ={}^{t}x\left(\overline{\lambda x}\right)}$${\displaystyle =\overline{\lambda }{}^{t}x\overline{x}}$${\displaystyle =\overline{\lambda }x\overline{\cdot x}}$　･･････(1)

${\displaystyle x\cdot \left(Ax\right)={}^{t}x\left(\overline{Ax}\right)}$${\displaystyle ={}^{t}x\left(\overline{A}\overline{x}\right)}$${\displaystyle ={}^{t}x{}^{t}A\overline{x}}$${\displaystyle ={}^t\left(Ax\right)\overline{x}}$${\displaystyle ={}^t\left(\lambda x\right)\overline{x}}$${\displaystyle =\lambda {}^{t}x\overline{x}}$${\displaystyle =\lambda x\overline{\cdot x}}$ 　･･････(2)

(1)，(2)より

${\displaystyle \overline{\lambda }x\overline{\cdot x}=\lambda x\overline{\cdot x}}$

となる.よって

${\displaystyle \overline{\lambda }=\lambda }$

となり，固有値${\displaystyle \lambda }$ は実数となる．

　

ホーム>>カテゴリー分類>>行列>>線形代数>>実対称行列の固有値

最終更新日：2022年9月3日