# 行列式の次数下げ　その1

$\left|\begin{array}{cccccc}{a}_{11}& \cdots & {a}_{1n}& 0& \cdots & 0\\ ⋮& \ddots & ⋮& ⋮& & ⋮\\ {a}_{n1}& \cdots & {a}_{nn}& 0& \cdots & 0\\ {c}_{11}& \cdots & {c}_{1n}& {b}_{11}& \cdots & {b}_{1m}\\ ⋮& & ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ {c}_{m1}& \cdots & {c}_{mn}& {b}_{m1}& \cdots & {b}_{mm}\end{array}\right|$ $=|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \cdots & {a}_{1n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ {a}_{n1}& \cdots & {a}_{nn}\end{array}|·|\begin{array}{ccc}{b}_{11}& \cdots & {b}_{1m}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ {b}_{m1}& \cdots & {b}_{mm}\end{array}|$　･･････(1)

の関係が成り立つ．

## ■導出

•  $A=|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \cdots & {a}_{1n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ {a}_{n1}& \cdots & {a}_{nn}\end{array}|$ ， $n$次の正方行列
•  $B=|\begin{array}{ccc}{b}_{11}& \cdots & {b}_{1m}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ {b}_{m1}& \cdots & {b}_{mm}\end{array}|$ ， $m$ 次の正方行列
•  $C=|\begin{array}{ccc}{c}_{11}& \cdots & {c}_{1n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ {c}_{m1}& \cdots & {c}_{mn}\end{array}|$ $\left[m,n\right]$ 型行列

とおくと(1)は

$|\begin{array}{cc}A& O\\ C& B\end{array}|=|A|\cdot |B|$　･･････(2)

$n=1$ の時，(1)の左辺は

$\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& 0& \cdots & 0\\ {c}_{11}& {b}_{11}& \cdots & {b}_{1m}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ {c}_{m1}& {b}_{m1}& \cdots & {b}_{mm}\end{array}\right|$ 　･･････(3)

となる．

(3)を1行で展開すると

$={a}_{11}×{\left(-1\right)}^{1+1}|\begin{array}{ccc}{b}_{11}& \cdots & {b}_{1m}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ {b}_{m1}& \cdots & {b}_{mm}\end{array}|$$={a}_{11}|\begin{array}{ccc}{b}_{11}& \cdots & {b}_{1m}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ {b}_{m1}& \cdots & {b}_{mm}\end{array}|$　･･････(4)

となり(1)が成り立つ．

$n=k-1$ の時，(1)が成り立つと仮定する.

すなわち

$\left|\begin{array}{llllll}{a}_{11}\hfill & \cdots \hfill & {a}_{1k-1}\hfill & 0\hfill & \cdots \hfill & 0\hfill \\ ⋮\hfill & \ddots \hfill & ⋮\hfill & ⋮\hfill & \hfill & ⋮\hfill \\ {a}_{k-11}\hfill & \cdots \hfill & {a}_{k-1k-1}\hfill & 0\hfill & \cdots \hfill & 0\hfill \\ {c}_{11}\hfill & \cdots \hfill & {c}_{1k-1}\hfill & {b}_{11}\hfill & \cdots \hfill & {b}_{1m}\hfill \\ ⋮\hfill & \hfill & ⋮\hfill & ⋮\hfill & \ddots \hfill & ⋮\hfill \\ {c}_{m1}\hfill & \cdots \hfill & {c}_{mk-1}\hfill & {b}_{m1}\hfill & \cdots \hfill & {b}_{mm}\hfill \end{array}\right|$ $=|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \cdots & {a}_{1k-1}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ {a}_{k-1k-1}& \cdots & {a}_{k-1k}\end{array}|·|\begin{array}{ccc}{b}_{11}& \cdots & {b}_{1m}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ {b}_{m1}& \cdots & {b}_{mm}\end{array}|$

$=|{A}^{\prime }||B|$　･･････(5)

(ただし，${A}^{\prime }$$k-1$ 次の行列 )

(5)が成り立つと仮定する．

$n=k$ の時(1)の左辺は

$\left|\begin{array}{cccccc}{a}_{11}& \cdots & {a}_{1k}& 0& \cdots & 0\\ ⋮& \ddots & ⋮& ⋮& & ⋮\\ {a}_{k1}& \cdots & {a}_{kk}& 0& \cdots & 0\\ {c}_{11}& \cdots & {c}_{1k}& {b}_{11}& \cdots & {b}_{1m}\\ ⋮& & ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ {c}_{m1}& \cdots & {c}_{mk}& {b}_{m1}& \cdots & {b}_{mm}\end{array}\right|$ 　･･････(6)

となる．(6)を1行で展開すると

$={a}_{11}×{\left(-1\right)}^{1+1}\left|\begin{array}{cccccc}{a}_{22}& \cdots & {a}_{2n}& 0& \cdots & 0\\ ⋮& & ⋮& ⋮& & ⋮\\ {a}_{n2}& \cdots & {a}_{kk}& 0& \cdots & 0\\ {c}_{12}& \cdots & {c}_{1k}& {b}_{11}& \cdots & {b}_{1m}\\ ⋮& & ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ {c}_{m2}& \cdots & {c}_{mk}& {b}_{m1}& \cdots & {b}_{mm}\end{array}\right|$ $+{a}_{12}×{\left(-1\right)}^{1+2}\left|\begin{array}{ccccccc}{a}_{21}& {a}_{23}& \cdots & {a}_{2k}& 0& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮& & ⋮\\ {a}_{k1}& {a}_{n3}& \cdots & {a}_{kk}& 0& \cdots & 0\\ {c}_{11}& {c}_{13}& \cdots & {c}_{1k}& {b}_{11}& \cdots & {b}_{1m}\\ ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮& & ⋮\\ {c}_{m1}& {c}_{m3}& \cdots & {c}_{mk}& {b}_{m1}& \cdots & {b}_{mm}\end{array}\right|$ $+\cdots +{a}_{1k}×{\left(-1\right)}^{1+k}\left|\begin{array}{cccccc}{a}_{21}& \cdots & {a}_{2k-1}& 0& \cdots & 0\\ ⋮& \ddots & ⋮& ⋮& & 0\\ {a}_{k1}& \cdots & {a}_{kk-1}& 0& \cdots & 0\\ {c}_{11}& \cdots & {c}_{1k-1}& {b}_{11}& \cdots & {b}_{1m}\\ ⋮& & ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ {c}_{m1}& \cdots & {c}_{mk-1}& {b}_{m1}& \cdots & {b}_{mm}\end{array}\right|$ 　･･････(7)

となる．$A$の1行と $i$ 列を除いた行列を ${A}_{1i}$$C$$i$列を除いた行列を${C}_{i}$と表わすことにすると，(7)は

$={a}_{11}×{\left(-1\right)}^{1+1}\left|\begin{array}{cc}{A}_{11}& O\\ {C}_{1}& B\end{array}\right|$ $+{a}_{12}×{\left(-1\right)}^{1+2}\left|\begin{array}{cc}{A}_{12}& O\\ {C}_{2}& B\end{array}\right|+\cdots$ $+{a}_{1k}×{\left(-1\right)}^{1+k}\left|\begin{array}{cc}{A}_{1k}& O\\ {C}_{k}& B\end{array}\right|$

$=\sum _{i=1}^{k}{a}_{1i}×{\left(-1\right)}^{1+i}\left|\begin{array}{cc}{A}_{1i}& O\\ {C}_{i}& B\end{array}\right|$ 　･･････(8)

となる．

(8)に含まれる$\left|\begin{array}{cc}{A}_{1i}& O\\ {C}_{i}& B\end{array}\right|$ は(5)より

$\left|\begin{array}{cc}{A}_{1i}& O\\ {C}_{i}& B\end{array}\right|=\left|{A}_{1i}\right|·\left|B\right|$ 　･･････(9)

となる．(9)を(8)に代入すると

$=\sum _{i=1}^{k}{a}_{1i}×{\left(-1\right)}^{1+i}×\left|{A}_{1i}\right|·\left|B\right|$ 　･･････(10)

となる．

$|A|$ を1行で展開すると

$|A|$$=\sum _{i=1}^{k}{a}_{1i}×{\stackrel{˜}{a}}_{1i}$$=\sum _{i=1}^{k}{a}_{1i}×{\left(-1\right)}^{1+i}|{A}_{1i}|$　･･････(11)

となる．(11)を(10)に代入すると

$=|A|·|B|$　･･････(12)

よって

$\left|\begin{array}{cccccc}{a}_{11}& \cdots & {a}_{1n}& 0& \cdots & 0\\ ⋮& \ddots & ⋮& ⋮& & ⋮\\ {a}_{n1}& \cdots & {a}_{nn}& 0& \cdots & 0\\ {c}_{11}& \cdots & {c}_{1n}& {b}_{11}& \cdots & {b}_{1m}\\ ⋮& & ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ {c}_{m1}& \cdots & {c}_{mn}& {b}_{m1}& \cdots & {b}_{mm}\end{array}\right|$$=|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \cdots & {a}_{1k}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ {a}_{k1}& \cdots & {a}_{kk}\end{array}|·|\begin{array}{ccc}{b}_{11}& \cdots & {b}_{1m}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ {b}_{m1}& \cdots & {b}_{mm}\end{array}|$

が導かれ，$n=k-1$ の時(1)が成り立つと仮定すると$n=k$ の時も(1)式が成り立つ．

ホーム>>カテゴリー分類>>行列>>線形代数>>次数下げの計算>>行列の次数下げ その1