# 行列式の次数下げ　その2

$|\begin{array}{cccccc}0& \cdots & 0& {a}_{11}& \cdots & {a}_{1n}\\ ⋮& & ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& \cdots & 0& {a}_{n1}& \cdots & {a}_{nn}\\ {b}_{11}& \cdots & {b}_{1m}& {c}_{11}& \cdots & {c}_{1n}\\ ⋮& \ddots & ⋮& ⋮& & ⋮\\ {b}_{m1}& \cdots & {b}_{mm}& {c}_{m1}& \cdots & {c}_{mn}\end{array}|$$={\left(-1\right)}^{mn}|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \cdots & {a}_{1n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ {a}_{n1}& \cdots & {a}_{nn}\end{array}|·|\begin{array}{ccc}{b}_{11}& \cdots & {b}_{1m}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ {b}_{m1}& \cdots & {b}_{mm}\end{array}|$　･･････(1)

の関係が成り立つ．

## ■導出

•  $A=|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \cdots & {a}_{1n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ {a}_{n1}& \cdots & {a}_{nn}\end{array}|$ ， $n$次の正方行列
•  $B=|\begin{array}{ccc}{b}_{11}& \cdots & {b}_{1m}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ {b}_{m1}& \cdots & {b}_{mm}\end{array}|$ ， $m$ 次の正方行列
•  $C=|\begin{array}{ccc}{c}_{11}& \cdots & {c}_{1n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ {c}_{m1}& \cdots & {c}_{mn}\end{array}|$ $\left[m,n\right]$ 型行列

とおくと(1)は

$|\begin{array}{cc}O& A\\ B& C\end{array}|={\left(-1\right)}^{mn}|A|\cdot |B|$　･･････(2)

$n=1$ の時，(1)の左辺は

$|\begin{array}{cccc}0& \cdots & 0& {a}_{11}\\ {b}_{11}& \cdots & {b}_{1m}& {c}_{11}\\ ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ {b}_{m1}& \cdots & {b}_{mm}& {c}_{m1}\end{array}|$　･･････(3)

となる．

(3)を1行で展開すると

$={a}_{11}×{\left(-1\right)}^{1+m+1}|\begin{array}{ccc}{b}_{11}& \cdots & {b}_{1m}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ {b}_{m1}& \cdots & {b}_{mm}\end{array}|$$={\left(-1\right)}^{m×1}{a}_{11}|\begin{array}{ccc}{b}_{11}& \cdots & {b}_{1m}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ {b}_{m1}& \cdots & {b}_{mm}\end{array}|$　･･････(4)

(∵${\left(-1\right)}^{1+m+1}={\left(-1\right)}^{m+2}$$={\left(-1\right)}^{m}·{\left(-1\right)}^{2}$$={\left(-1\right)}^{m}$$={\left(-1\right)}^{m×1}$)

となり(1)が成り立つ．

$n=k-1$ の時，(1)が成り立つと仮定する.

すなわち

$|\begin{array}{llllll}0\hfill & \cdots \hfill & 0\hfill & {a}_{11}\hfill & \cdots \hfill & {a}_{1k-1}\hfill \\ ⋮\hfill & \hfill & ⋮\hfill & ⋮\hfill & \ddots \hfill & ⋮\hfill \\ 0\hfill & \cdots \hfill & 0\hfill & {a}_{k-11}\hfill & \cdots \hfill & {a}_{k-1k-1}\hfill \\ {b}_{11}\hfill & \cdots \hfill & {b}_{1m}\hfill & {c}_{11}\hfill & \cdots \hfill & {c}_{1k-1}\hfill \\ ⋮\hfill & \ddots \hfill & ⋮\hfill & ⋮\hfill & \hfill & ⋮\hfill \\ {b}_{m1}\hfill & \cdots \hfill & {b}_{mm}\hfill & {c}_{m1}\hfill & \cdots \hfill & {c}_{mk-1}\hfill \end{array}|$$={\left(-1\right)}^{m\left(k-1\right)}|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \cdots & {a}_{1k-1}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ {a}_{k-1k-1}& \cdots & {a}_{k-1k}\end{array}|·|\begin{array}{ccc}{b}_{11}& \cdots & {b}_{1m}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ {b}_{m1}& \cdots & {b}_{mm}\end{array}|$

$={\left(-1\right)}^{m\left(k-1\right)}|{A}^{\prime }||B|$　･･････(5)

(ただし，${A}^{\prime }$$k-1$ 次の行列 )

(5)が成り立つと仮定する．

$n=k$ の時(1)の左辺は

$\left|\begin{array}{cccccc}0& \cdots & 0& {a}_{11}& \cdots & {a}_{1k}\\ ⋮& & ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& \cdots & 0& {a}_{k1}& \cdots & {a}_{kk}\\ {b}_{11}& \cdots & {b}_{1m}& {c}_{11}& \cdots & {c}_{1k}\\ ⋮& \ddots & ⋮& ⋮& & ⋮\\ {b}_{m1}& \cdots & {b}_{mm}& {c}_{m1}& \cdots & {c}_{mk}\end{array}\right|$ 　･･････(6)

となる．(6)を1行で展開すると

$={a}_{11}×{\left(-1\right)}^{1+m+1}|\begin{array}{cccccc}0& \cdots & 0& {a}_{22}& \cdots & {a}_{2n}\\ ⋮& & ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& \cdots & 0& {a}_{n2}& \cdots & {a}_{kk}\\ {b}_{11}& \cdots & {b}_{1m}& {c}_{12}& \cdots & {c}_{1k}\\ ⋮& \ddots & ⋮& ⋮& & \\ {b}_{m1}& \cdots & {b}_{mm}& {c}_{m2}& & {c}_{mk}\end{array}|$$+{a}_{12}×{\left(-1\right)}^{1+m+2}|\begin{array}{ccccccc}0& \cdots & 0& {a}_{21}& {a}_{23}& \cdots & {a}_{2k}\\ ⋮& & ⋮& ⋮& & \ddots & \\ 0& \cdots & 0& {a}_{k1}& {a}_{n3}& \cdots & {a}_{kk}\\ {b}_{11}& \cdots & {b}_{1m}& {c}_{11}& {c}_{13}& \cdots & {c}_{1k}\\ ⋮& \ddots & ⋮& & & & \\ {b}_{m1}& \cdots & {b}_{mm}& {c}_{m1}& {c}_{m3}& \cdots & {c}_{mk}\end{array}|$$+\cdots +{a}_{1k}×{\left(-1\right)}^{1+m+k}|\begin{array}{cccccc}0& \cdots & 0& {a}_{21}& \cdots & {a}_{2k-1}\\ ⋮& & ⋮& ⋮& \ddots & \\ 0& \cdots & 0& {a}_{k1}& \cdots & {a}_{kk-1}\\ {b}_{11}& \cdots & {b}_{1m}& {c}_{11}& \cdots & {c}_{1k-1}\\ ⋮& \ddots & ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ {b}_{m1}& \cdots & {b}_{mm}& {c}_{m1}& \cdots & {c}_{mk-1}\end{array}|$　･･････(7)

となる．$A$の1行と $i$ 列を除いた行列を ${A}_{1i}$$C$$i$列を除いた行列を${C}_{i}$と表わすことにすると，(7)は

$={a}_{11}×{\left(-1\right)}^{1+m+1}|\begin{array}{cc}O& {A}_{11}\\ B& {C}_{1}\end{array}|$$+{a}_{12}×{\left(-1\right)}^{1+m+2}|\begin{array}{cc}O& {A}_{12}\\ B& {C}_{2}\end{array}|+\cdots$$+{a}_{1k}×{\left(-1\right)}^{1+m+k}|\begin{array}{cc}O& {A}_{1k}\\ B& {C}_{k}\end{array}|$

$=\sum _{i=1}^{k}{a}_{1i}×{\left(-1\right)}^{1+m+i}|\begin{array}{cc}O& {A}_{1i}\\ B& {C}_{i}\end{array}|$　･･････(8)

となる．

(8)に含まれる$|\begin{array}{cc}O& {A}_{1i}\\ B& {C}_{i}\end{array}|$

は(5)より

$|\begin{array}{cc}O& {A}_{1i}\\ B& {C}_{i}\end{array}|={\left(-1\right)}^{m\left(k-1\right)}|{A}_{1i}|·|B|$　･･････(9)

となる．(9)を(8)に代入すると

$=\sum _{i=1}^{k}{a}_{1i}×{\left(-1\right)}^{1+m+i}×{\left(-1\right)}^{m\left(k-1\right)}|{A}_{1i}|·|B|$　･･････(10)

となる．

$|A|$ を1行で展開すると

$|A|$$=\sum _{i=1}^{k}{a}_{1i}×{\stackrel{˜}{a}}_{1i}$$=\sum _{i=1}^{k}{a}_{1i}×{\left(-1\right)}^{1+i}|{A}_{1i}|$　･･････(11)

となる．(11)を(10)に代入すると

$={\left(-1\right)}^{m}×{\left(-1\right)}^{m\left(k-1\right)}|A|·|B|$$={\left(-1\right)}^{mk}|A|·|B|$　･･････(12)

よって

$|\begin{array}{cccccc}0& \cdots & 0& {a}_{22}& \cdots & {a}_{2n}\\ ⋮& \ddots & ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& \cdots & 0& {a}_{n2}& \cdots & {a}_{kk}\\ {b}_{11}& \cdots & {b}_{1m}& {c}_{12}& \cdots & {c}_{1k}\\ ⋮& \ddots & ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ {b}_{m1}& \cdots & {b}_{mm}& {c}_{m2}& \cdots & {c}_{mk}\end{array}|$$={\left(-1\right)}^{mk}|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \cdots & {a}_{1k}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ {a}_{k1}& \cdots & {a}_{kk}\end{array}|·|\begin{array}{ccc}{b}_{11}& \cdots & {b}_{1m}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ {b}_{m1}& \cdots & {b}_{mm}\end{array}|$

が導かれ，$n=k-1$ の時(1)が成り立つと仮定すると$n=k$ の時も(1)式が成り立つ．

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