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2次の行列式の幾何学的な意味

2次の行列式の場合

行列式 A = a 11 a 12 a 21 a 22 列ベクトル

a 11 a 21 = a 1 a 12 a 22 = a 2

おくと, | A | 絶対値 a 1 a 2 を2辺とする平行四辺形の面積の値に等しい.

■導出

a 11 a 21 = a 1 a 12 a 22 = a 2

とおく.

a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11 a 22 a 12 a 21 = a 11 a 22 + a 21 a 12

と変形し,

a 22 a 12 = a 2

とおくと,

a 11 a 12 a 21 a 22 = a 1 · a 2

となる.行列式は a 1 a 2 の内積で表わされる.

a 2 a 2 の関係を行列を使って表わす.

a 22 =0· a 12 +1· a 22

a 12 =1· a 12 +0· a 22

より

a 22 a 12 = 0· a 12 +1· a 22 1· a 12 +0· a 22

= 0 1 1 0 a 22 a 12

= cos 90 sin 90 sin 90 cos 90 a 22 a 12

となる.

行列 ( cos( 90 ) sin( 90 ) sin( 90 ) cos( 90 ) ) は原点を中心に 90 反時計回り,( 90 時計回り)に回転させる回転行列である.

すなわち a 2 a 2 の始点を回転の中心として時計回りに 90 回転させたベクトルになる.

a 1 a 2 a 2 を座標平面に描くと図のようになる.

a 1 を原点を中心を反時計回りに回転させ a 2 重ねた時の回転角を θ とすると, a 1 a 2 のなす角は θ (ただし, 180°θ180° ) となる. a 1 a 2 のなす角は, 90°θ180° の時, θ90° 180°θ<90° の時, θ+270° となる.

90°θ180° a 1 a 2 のなす角が θ90° の場合

a 11 a 12 a 21 a 22 = a 1 · a 2

=| a 1 || a 2 |cos( θ90° )

=| a 1 || a 2 |cos( θ90° )

=| a 1 || a 2 |sinθ

| a 2 |=| a 2 | cos 90 θ =cos θ 90 =sinθ  ⇒ここを参照)

=| a 1 |( | a 2 |sinθ )  ・・・・・・(1)

180°θ<90° a 1 a 2 のなす角が θ+270° の場合

a 11 a 12 a 21 a 22 = a 1 · a 2

=| a 1 || a 2 |cos( θ+270° )

=| a 1 || a 2 |cos( θ+270° )

=| a 1 || a 2 |cos( θ+360°90° )

=| a 1 || a 2 |cos( θ90° )

=| a 1 || a 2 |sinθ

=| a 1 |( | a 2 |sinθ )  ・・・・・・(2)

(1),(2)より,いずれの場合も

a 1 a 2 =| a 1 |( | a 2 |sinθ )

となる.

| a 1 |( | a 2 |sinθ ) の絶対値は a 1 a 2 を2辺とする平行四辺形の面積の値に等しい.

すなわち | a c b d | の絶対値は a 1 a 2 を2辺とする平行四辺形の面積の値に等しい.

| a c b d | の符号は

0°θ180° a 11 a 12 a 21 a 22 0 180°θ<0° a 11 a 12 a 21 a 22 <0

となる.

 

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最終更新日: 2022年6月26日

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