1次従属であるための必要十分条件

${\displaystyle n}$ 個の${\displaystyle n}$ 次列ベクトル

${\displaystyle \left(\begin{array}{c}{a}_{11}\\ a_{21}\\ a_{31}\\ ⋮\\ a_{n1}\end{array}\right)}$，${\displaystyle \left(\begin{array}{c}{a}_{12}\\ a_{22}\\ a_{32}\\ ⋮\\ a_{n2}\end{array}\right)}$，${\displaystyle \left(\begin{array}{c}{a}_{13}\\ a_{23}\\ a_{33}\\ ⋮\\ a_{n3}\end{array}\right)}$，･･･，${\displaystyle \left(\begin{array}{c}{a}_{1n}\\ a_{2n}\\ a_{3n}\\ ⋮\\ a_{nn}\end{array}\right)}$

が１次従属であるための必要十分条件は，各列ベクトルを列の成分とする${\displaystyle n}$ 次行列式の値${\displaystyle \left|A\right|}$ が

${\displaystyle \left|A\right|=\left|\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}& \cdots & a_{2n}\\ a_{31}& a_{22}& a_{23}& \cdots & a_{3n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& a_{n3}& \cdots & a_{3n}\end{array}\right|=0}$

である．

■証明

${\displaystyle a_1=\left(\begin{array}{c}{a}_{11}\\ a_{21}\\ a_{32}\\ ⋮\\ a_{n1}\end{array}\right)}$ ，${\displaystyle a_2=\left(\begin{array}{c}{a}_{12}\\ a_{22}\\ a_{32}\\ ⋮\\ a_{n2}\end{array}\right)}$ ，${\displaystyle a_3=\left(\begin{array}{c}{a}_{13}\\ a_{23}\\ a_{33}\\ ⋮\\ a_{n3}\end{array}\right)}$ ，･･･，${\displaystyle a_n=\left(\begin{array}{c}{a}_{1n}\\ a_{2n}\\ a_{3n}\\ ⋮\\ a_{nn}\end{array}\right)}$ の${\displaystyle n}$ 次元ベクトルの組を考え，各列ベクトルを行列の列の成分とする行列を

${\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}& \cdots & a_{2n}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}& \cdots & a_{3n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& a_{n3}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right)}$

で，その行列式を

${\displaystyle \left|A\right|=\left|\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}& \cdots & a_{2n}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}& \cdots & a_{3n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& a_{n3}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|}$

で表すとする．さらに，行列${\displaystyle A}$ の余因子行列を

${\displaystyle \tilde{A}=\left(\begin{array}{ccccc}{\tilde{a}}_{11}& {\tilde{a}}_{21}& {\tilde{a}}_{31}& \cdots & {\tilde{a}}_{n1}\\ {\tilde{a}}_{12}& {\tilde{a}}_{22}& {\tilde{a}}_{32}& \cdots & {\tilde{a}}_{n2}\\ {\tilde{a}}_{13}& {\tilde{a}}_{23}& {\tilde{a}}_{33}& \cdots & {\tilde{a}}_{n3}\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ {\tilde{a}}_{1n}& {\tilde{a}}_{2n}& {\tilde{a}}_{3n}& \cdots & {\tilde{a}}_{nn}\end{array}\right)}$

とする

●「${\displaystyle \left|A\right|=0}$ ⇒${\displaystyle a_1}$ ，${\displaystyle a_2}$ ，${\displaystyle a_3}$ ，･･･，${\displaystyle a_n}$ が1次従属」の証明

${\displaystyle c_1{a}_1+c_2{a}_2+c_3{a}_3+\cdots +c_n{a}_n=0}$ 　･･････(1)

とおく，(1)をベクトルの成分を用いて式を書き換えると

さらに，行列を用いた形式に書き直すと

となる．

(2)の両辺に左から余因子行列を掛ける.

${\displaystyle \left\{\begin{array}{c}\left|A\right|c_1=0\\ \left|A\right|c_2=0\\ \left|A\right|c_3=0\\ ⋮\\ \left|A\right|c_n=0\end{array}\right.}$　･･････(3)

となり，(1)の左辺の1次結合の係数${\displaystyle c_1}$ ，${\displaystyle c_2}$ ，…，${\displaystyle c_n}$ の中でゼロでないものが存在しても(3)が成り立つ．すなわち，(1)が成り立つ.

したがって

${\displaystyle \left|A\right|=0}$ ⇒${\displaystyle a_1}$ ，${\displaystyle a_2}$ ，${\displaystyle a_3}$ ，･･･，${\displaystyle a_n}$ が1次従属

である．

●「${\displaystyle a_1}$ ，${\displaystyle a_2}$ ，${\displaystyle a_3}$ ，･･･，${\displaystyle a_n}$ が1次従属⇒${\displaystyle \left|A\right|=0}$」の証明

${\displaystyle a_1}$ ，${\displaystyle a_2}$ ，${\displaystyle a_3}$ ，･･･，${\displaystyle a_n}$ が1次従属であるので，(1)の左辺の1次結合の係数${\displaystyle c_1}$ ，${\displaystyle c_2}$ ，…，${\displaystyle c_n}$ の中でゼロでないものが存在する．この場合，(3)が成り立つためには

${\displaystyle \left|A\right|=0}$

でなければならない.

したがって

${\displaystyle a_1}$ ，${\displaystyle a_2}$ ，${\displaystyle a_3}$ ，･･･，${\displaystyle a_n}$ が1次従属⇒${\displaystyle \left|A\right|=0}$

となる．

　

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最終更新日：2022年9月6日