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1次従属であるための必要十分条件

n 個の n 次列ベクトル

a 11 a 21 a 31 a n1 a 12 a 22 a 32 a n2 a 13 a 23 a 33 a n3 ,・・・, a 1n a 2n a 3n a nn

1次独立であるための必要十分条件は,各列ベクトルを列の成分とする n 次行列式の値 A

A = a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n a 31 a 22 a 23 a 3n a n1 a n2 a n3 a 3n =0

である.

■証明

a 1 = a 11 a 21 a 32 a n1 a 2 = a 12 a 22 a 32 a n2 a 3 = a 13 a 23 a 33 a n3 ,・・・, a n = a 1n a 2n a 3n a nn n 次元ベクトルの組を考え,各列ベクトルを行列の列の成分とする行列を

A= a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n a 31 a 32 a 33 a 3n a n1 a n2 a n3 a nn

で,その行列式を

A = a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n a 31 a 32 a 33 a 3n a n1 a n2 a n3 a nn

で表すとする.さらに,行列 A の余因子行列を

A ˜ = a ˜ 11 a ˜ 21 a ˜ 31 a ˜ n1 a ˜ 12 a ˜ 22 a ˜ 32 a ˜ n2 a ˜ 13 a ˜ 23 a ˜ 33 a ˜ n3 a ˜ 1n a ˜ 2n a ˜ 3n a ˜ nn

とする

●「 A =0 a 1 a 2 a 3 ,・・・, a n が1次従属」の証明

c 1 a 1 + c 2 a 2 + c 3 a 3 ++ c n a n =0  ・・・・・・(1)

とおく,(1)をベクトルの成分を用いて式を書き換えると

c 1 a 11 a 21 a 32 a n1 + c 2 a 11 a 21 a 32 a n1 + c 3 a 11 a 21 a 32 a n1 ++ c n a 1n a 2n a 3n a nn = 0 0 0 0

さらに,行列を用いた形式に書き直すと

a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n a 31 a 32 a 33 a 3n a n1 a n2 a n3 a nn c 1 c 2 c 3 c n = 0 0 0 0  ・・・・・・(2)

となる.

(2)の両辺に左から余因子行列を掛ける.

a ˜ 11 a ˜ 21 a ˜ 31 a ˜ n1 a ˜ 12 a ˜ 22 a ˜ 32 a ˜ n2 a ˜ 13 a ˜ 23 a ˜ 33 a ˜ n3 a ˜ 1n a ˜ 2n a ˜ 3n a ˜ nn a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n a 31 a 32 a 33 a 3n a n1 a n2 a n3 a nn c 1 c 2 c 3 c n = a ˜ 11 a ˜ 21 a ˜ 31 a ˜ n1 a ˜ 12 a ˜ 22 a ˜ 32 a ˜ n2 a ˜ 13 a ˜ 23 a ˜ 33 a ˜ n3 a ˜ 1n a ˜ 2n a ˜ 3n a ˜ nn 0 0 0 0

A 0 0 0 0 A 0 0 0 0 A 0 0 0 0 A c 1 c 2 c 3 c n = 0 0 0 0

A c 1 =0 A c 2 =0 A c 3 =0 A c n =0  ・・・・・・(3)

となり,(1)の左辺の1次結合の係数 c 1 c 2 ,…, c n の中でゼロでないものが存在しても(3)が成り立つ.すなわち,(1)が成り立つ.

したがって

A =0 a 1 a 2 a 3 ,・・・, a n が1次従属

である.

●「 a 1 a 2 a 3 ,・・・, a n が1次従属⇒ A =0 」の証明

a 1 a 2 a 3 ,・・・, a n が1次従属であるので,(1)の左辺の1次結合の係数 c 1 c 2 ,…, c n の中でゼロでないものが存在する.この場合,(3)が成り立つためには

A =0

でなければならない.

したがって

a 1 a 2 a 3 ,・・・, a n が1次従属⇒ A =0

となる.

 

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最終更新日:2022年9月6日

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