# 1次従属であるための必要十分条件

$n$ 個の$n$ 次列ベクトル

$\left(\begin{array}{c}{a}_{11}\\ {a}_{21}\\ {a}_{31}\\ ⋮\\ {a}_{n1}\end{array}\right)$$\left(\begin{array}{c}{a}_{12}\\ {a}_{22}\\ {a}_{32}\\ ⋮\\ {a}_{n2}\end{array}\right)$$\left(\begin{array}{c}{a}_{13}\\ {a}_{23}\\ {a}_{33}\\ ⋮\\ {a}_{n3}\end{array}\right)$，･･･，$\left(\begin{array}{c}{a}_{1n}\\ {a}_{2n}\\ {a}_{3n}\\ ⋮\\ {a}_{nn}\end{array}\right)$

１次独立であるための必要十分条件は，各列ベクトルを列の成分とする$n$ 次行列式の値$\left|A\right|$

$\left|A\right|=\left|\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& {a}_{12}& {a}_{13}& \cdots & {a}_{1n}\\ {a}_{21}& {a}_{22}& {a}_{23}& \cdots & {a}_{2n}\\ {a}_{31}& {a}_{22}& {a}_{23}& \cdots & {a}_{3n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ {a}_{n1}& {a}_{n2}& {a}_{n3}& \cdots & {a}_{3n}\end{array}\right|=0$

である．

## ■証明

${a}_{1}=\left(\begin{array}{c}{a}_{11}\\ {a}_{21}\\ {a}_{32}\\ ⋮\\ {a}_{n1}\end{array}\right)$${a}_{2}=\left(\begin{array}{c}{a}_{12}\\ {a}_{22}\\ {a}_{32}\\ ⋮\\ {a}_{n2}\end{array}\right)$${a}_{3}=\left(\begin{array}{c}{a}_{13}\\ {a}_{23}\\ {a}_{33}\\ ⋮\\ {a}_{n3}\end{array}\right)$ ，･･･，${a}_{n}=\left(\begin{array}{c}{a}_{1n}\\ {a}_{2n}\\ {a}_{3n}\\ ⋮\\ {a}_{nn}\end{array}\right)$$n$ 次元ベクトルの組を考え，各列ベクトルを行列の列の成分とする行列を

$A=\left(\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& {a}_{12}& {a}_{13}& \cdots & {a}_{1n}\\ {a}_{21}& {a}_{22}& {a}_{23}& \cdots & {a}_{2n}\\ {a}_{31}& {a}_{32}& {a}_{33}& \cdots & {a}_{3n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ {a}_{n1}& {a}_{n2}& {a}_{n3}& \cdots & {a}_{nn}\end{array}\right)$

で，その行列式を

$\left|A\right|=\left|\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& {a}_{12}& {a}_{13}& \cdots & {a}_{1n}\\ {a}_{21}& {a}_{22}& {a}_{23}& \cdots & {a}_{2n}\\ {a}_{31}& {a}_{32}& {a}_{33}& \cdots & {a}_{3n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ {a}_{n1}& {a}_{n2}& {a}_{n3}& \cdots & {a}_{nn}\end{array}\right|$

で表すとする．さらに，行列$A$ の余因子行列を

$\stackrel{˜}{A}=\left(\begin{array}{ccccc}{\stackrel{˜}{a}}_{11}& {\stackrel{˜}{a}}_{21}& {\stackrel{˜}{a}}_{31}& \cdots & {\stackrel{˜}{a}}_{n1}\\ {\stackrel{˜}{a}}_{12}& {\stackrel{˜}{a}}_{22}& {\stackrel{˜}{a}}_{32}& \cdots & {\stackrel{˜}{a}}_{n2}\\ {\stackrel{˜}{a}}_{13}& {\stackrel{˜}{a}}_{23}& {\stackrel{˜}{a}}_{33}& \cdots & {\stackrel{˜}{a}}_{n3}\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ {\stackrel{˜}{a}}_{1n}& {\stackrel{˜}{a}}_{2n}& {\stackrel{˜}{a}}_{3n}& \cdots & {\stackrel{˜}{a}}_{nn}\end{array}\right)$

とする

### ●「$\left|A\right|=0$ ⇒${a}_{1}$ ，${a}_{2}$ ，${a}_{3}$ ，･･･，${a}_{n}$ が1次従属」の証明

${c}_{1}{a}_{1}+{c}_{2}{a}_{2}+{c}_{3}{a}_{3}+\cdots +{c}_{n}{a}_{n}=0$ 　･･････(1)

とおく，(1)をベクトルの成分を用いて式を書き換えると

${c}_{1}\left(\begin{array}{c}{a}_{11}\\ {a}_{21}\\ {a}_{32}\\ ⋮\\ {a}_{n1}\end{array}\right)+{c}_{2}\left(\begin{array}{c}{a}_{11}\\ {a}_{21}\\ {a}_{32}\\ ⋮\\ {a}_{n1}\end{array}\right)+{c}_{3}\left(\begin{array}{c}{a}_{11}\\ {a}_{21}\\ {a}_{32}\\ ⋮\\ {a}_{n1}\end{array}\right)+\cdots +{c}_{n}\left(\begin{array}{c}{a}_{1n}\\ {a}_{2n}\\ {a}_{3n}\\ ⋮\\ {a}_{nn}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ ⋮\\ 0\end{array}\right)$

さらに，行列を用いた形式に書き直すと

$\left(\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& {a}_{12}& {a}_{13}& \cdots & {a}_{1n}\\ {a}_{21}& {a}_{22}& {a}_{23}& \cdots & {a}_{2n}\\ {a}_{31}& {a}_{32}& {a}_{33}& \cdots & {a}_{3n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ {a}_{n1}& {a}_{n2}& {a}_{n3}& \cdots & {a}_{nn}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{c}_{1}\\ {c}_{2}\\ {c}_{3}\\ ⋮\\ {c}_{n}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ ⋮\\ 0\end{array}\right)$　･･････(2)

となる．

(2)の両辺に左から余因子行列を掛ける.

$\left(\begin{array}{ccccc}{\stackrel{˜}{a}}_{11}& {\stackrel{˜}{a}}_{21}& {\stackrel{˜}{a}}_{31}& \cdots & {\stackrel{˜}{a}}_{n1}\\ {\stackrel{˜}{a}}_{12}& {\stackrel{˜}{a}}_{22}& {\stackrel{˜}{a}}_{32}& \cdots & {\stackrel{˜}{a}}_{n2}\\ {\stackrel{˜}{a}}_{13}& {\stackrel{˜}{a}}_{23}& {\stackrel{˜}{a}}_{33}& \cdots & {\stackrel{˜}{a}}_{n3}\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ {\stackrel{˜}{a}}_{1n}& {\stackrel{˜}{a}}_{2n}& {\stackrel{˜}{a}}_{3n}& \cdots & {\stackrel{˜}{a}}_{nn}\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& {a}_{12}& {a}_{13}& \cdots & {a}_{1n}\\ {a}_{21}& {a}_{22}& {a}_{23}& \cdots & {a}_{2n}\\ {a}_{31}& {a}_{32}& {a}_{33}& \cdots & {a}_{3n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ {a}_{n1}& {a}_{n2}& {a}_{n3}& \cdots & {a}_{nn}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{c}_{1}\\ {c}_{2}\\ {c}_{3}\\ ⋮\\ {c}_{n}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccccc}{\stackrel{˜}{a}}_{11}& {\stackrel{˜}{a}}_{21}& {\stackrel{˜}{a}}_{31}& \cdots & {\stackrel{˜}{a}}_{n1}\\ {\stackrel{˜}{a}}_{12}& {\stackrel{˜}{a}}_{22}& {\stackrel{˜}{a}}_{32}& \cdots & {\stackrel{˜}{a}}_{n2}\\ {\stackrel{˜}{a}}_{13}& {\stackrel{˜}{a}}_{23}& {\stackrel{˜}{a}}_{33}& \cdots & {\stackrel{˜}{a}}_{n3}\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ {\stackrel{˜}{a}}_{1n}& {\stackrel{˜}{a}}_{2n}& {\stackrel{˜}{a}}_{3n}& \cdots & {\stackrel{˜}{a}}_{nn}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ ⋮\\ 0\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{ccccc}\left|A\right|& 0& 0& \cdots & 0\\ 0& \left|A\right|& 0& \cdots & 0\\ 0& 0& \left|A\right|& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & \left|A\right|\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{c}_{1}\\ {c}_{2}\\ {c}_{3}\\ ⋮\\ {c}_{n}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ ⋮\\ 0\end{array}\right)$

$\left\{\begin{array}{c}\left|A\right|{c}_{1}=0\\ \left|A\right|{c}_{2}=0\\ \left|A\right|{c}_{3}=0\\ ⋮\\ \left|A\right|{c}_{n}=0\end{array}\right\$　･･････(3)

となり，(1)の左辺の1次結合の係数${c}_{1}$${c}_{2}$ ，…，${c}_{n}$ の中でゼロでないものが存在しても(3)が成り立つ．すなわち，(1)が成り立つ.

したがって

$\left|A\right|=0$${a}_{1}$${a}_{2}$${a}_{3}$ ，･･･，${a}_{n}$ が1次従属

である．

### ●「${a}_{1}$ ，${a}_{2}$ ，${a}_{3}$ ，･･･，${a}_{n}$ が1次従属⇒$\left|A\right|=0$」の証明

${a}_{1}$${a}_{2}$${a}_{3}$ ，･･･，${a}_{n}$ が1次従属であるので，(1)の左辺の1次結合の係数${c}_{1}$${c}_{2}$ ，…，${c}_{n}$ の中でゼロでないものが存在する．この場合，(3)が成り立つためには

$\left|A\right|=0$

でなければならない.

したがって

${a}_{1}$${a}_{2}$${a}_{3}$ ，･･･，${a}_{n}$ が1次従属⇒$\left|A\right|=0$

となる．

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