行列の積の行列式

■定理

　${\displaystyle n}$ 　次の正方行列 ${\displaystyle A}$ ， ${\displaystyle B}$に関して，

${\displaystyle \left|AB\right|=\left|A\right|\left|B\right|}$

が成り立つ。

■具体例

${\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 8\end{array}\right)}$ ，　 ${\displaystyle B=\left(\begin{array}{cc}3& 2\\ 4& 5\end{array}\right)}$ のとき，

${\displaystyle \left|A\right|=\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 8\end{array}\right|=2}$ ，${\displaystyle \left|B\right|=\left|\begin{array}{cc}3& 2\\ 4& 5\end{array}\right|=7}$  

よって，

${\displaystyle \left|A\right|\left|B\right|=2\times 7=14}$

また，

${\displaystyle AB=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 8\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}3& 2\\ 4& 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1\times 3+2\times 4& 1\times 2+2\times 5\\ 3\times 3+8\times 4& 3\times 2+8\times 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}11& 12\\ 41& 46\end{array}\right)}$  

よって，

${\displaystyle \left|AB\right|=\left|\begin{array}{cc}11& 12\\ 41& 46\end{array}\right|=11\times 46-12\times 41=506-492=14}$  

したがって，

${\displaystyle \left|A\right|\left|B\right|=\left|AB\right|}$  

が成り立っている。

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初版：2008年1月9日，最終更新日： 2008年3月19日