階層的クラスター分析（最短距離法）を読み解く

10個の点をドラッグして配置し，「距離が近いものから順にグループにまとめていく」だけの単純なルールから，樹形図（デンドログラム）がどのように組み上がるのかを観察できるアプリの，しくみと数式の解説．

01 - 概要

階層的クラスター分析は，あらかじめ「いくつのグループに分けるか」を決めなくても，個体どうしの距離だけを頼りに，近いものから順にまとめていく手法である．このアプリを操作すると，次のことが体感できる．

このアプリでは，平面上の10個の点をそれぞれ1つの「個体」とみなす．分析は次の3つの材料だけで進む．

個体	盤面上の1つの点．最初は10個すべてが，それぞれ単独の1個のクラスターとして始まる．
距離	2つの個体（点）の間の，平面上でのまっすぐな距離（ユークリッド距離）．
クラスター	1個以上の個体の集まり．結合を繰り返すたびに，クラスターの数は1つずつ減っていく．

盤面の一番端の列にいるときは「左」または「右」の一方が存在しない．そうした境界では，存在しない方向を最初から比較の対象から外す．次の図は，あるマス（状態）から見える3方向の候補を示したものである．

2点 $a$ , $b$ の座標をそれぞれ $(x_{a}, y_{a})$ ， $(x_{b}, y_{b})$ とすると，2点間の距離は次のユークリッド距離で求める．

個体間の距離

$d (a, b) = \sqrt{{(x_{a} - x_{b})}^{2} + {(y_{a} - y_{b})}^{2}}$

クラスターどうしの距離をどう決めるかにはいくつかの流儀があるが，このアプリが採用しているのは最短距離法（単連結法）である．2つのクラスターの距離を，両者に属する個体の組み合わせの中で最も近い1組の距離と定義する．

クラスター間の距離（最短距離法）

$D (C_{1}, C_{2}) = \min \{d (p, q) | p \in C_{1}, q \in C_{2}\}$

連結法（linkage）には，最短距離法（単連結法）のほかにも「最長距離法（完全連結法）」「群平均法」「ウォード法」などがある．同じ距離データでも連結法を変えるとできあがる樹形図の形は変わる．このアプリが再現しているのは，その中でも最も素朴な最短距離法である．

10個体であれば，9回結合を繰り返すとすべてが1つのクラスターにまとまり，分析は完了する．このアプリの「次を結合」ボタンは，この手順2～3をちょうど1回分だけ実行するボタンである．

樹形図は，上の手順で記録した結合の履歴をそのまま絵にしたものである．下の図は4個体 A・B・C・D を例に，結合が3回起こる様子を示している．

樹形図はある高さで水平に「輪切り」にすることで，その時点でのグループ分けを取り出せる．たとえば上の例を高さ1.5で切ると「{A,B}」と「{C}」と「{D}」の3グループに分かれる．高さを下げるほど細かいグループに，上げるほど大きなグループにまとまる．

結合順と高さ: 「次を結合」を押すたびに，その瞬間もっとも距離が近い2つのクラスターだけが結合される．樹形図の下から上へ，結合の高さがだんだん大きくなっていくことを確認する．
配置の影響: 同じ10点でも，まとまって固まっている配置と，ばらばらに散らばっている配置とでは，できあがる樹形図の形（枝分かれの高さのばらつき）が大きく異なる．
色分けとの対応: 左の散布図の点の色・番号は，右の樹形図のどのクラスターに属しているかと常に対応している．結合のたびに両方が同時に更新される様子を見比べる．

点の配置	樹形図の傾向
数個の塊にまとまっている	塊ごとに低い高さでまとまり，塊どうしが最後に高い位置で結合する，段差のはっきりした樹形図になりやすい
ほぼ均等に散らばっている	結合の高さがなだらかに増えていき，どこで輪切りにするかで結果が変わりやすい

個体	分析の対象となる1つのデータ．このアプリでは平面上の1つの点．
クラスター	1個以上の個体からなるグループ．結合を繰り返すたびに数が減っていく．
距離行列	すべての個体（またはクラスター）どうしの距離を一覧にしたもの．
連結法（linkage）	クラスター間の距離をどう定義するかの方式．最短距離法・最長距離法・群平均法などがある．
報酬	行動の直後に環境から与えられる数値の手がかり．良し悪しの唯一の情報源．
最短距離法（単連結法）	2クラスター間の距離を，両者に属する個体の中で最も近い1組の距離とする連結法．このアプリが採用している方式．
樹形図（デンドログラム）	結合の履歴を，結合の高さ（距離）とともに描いた木構造の図．
凝集型階層クラスタリング	個々の個体から出発し，近いものどうしを繰り返し結合していく（下から積み上げる）階層クラスタリングの方式．
連鎖効果	最短距離法で，点が線状に並んでいるときに1個ずつ吸収されるように結合が進む現象．

この記事は階層クラスター分析アプリの実装内容にもとづく解説であり，実際にアプリを操作しながら読むことを想定している．

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最終更新日：2026年7月17日