k平均法（k-means法）を動かして学ぶ

「一番近い重心に集まる」→「集まった点の真ん中に重心が動く」･･････このたった2つの操作を交互にくり返すだけで，ばらばらに置かれた点がいくつかのグループへ落ち着いていく過程を観察できるアプリの，しくみと数式の解説．

01 - 概要

k平均法（k-means法）は，あらかじめ決めた個数 k のグループに，データをできるだけ「近いもの同士」でまとめる代表的な手法である．このアプリを操作すると，次のことが体感できる．

個体	盤面上の1つの点．ドラッグで自由に動かせる．
重心（セントロイド）	各クラスターを代表する点（ひし形 G1, G2, … で表示）．実体を持つデータ点ではなく，計算で求めた「そのグループの平均位置」．
所属	ある個体が，どの重心に最も近いか（＝どのクラスターに属するか）．個体の色は，所属している重心の色に合わせて塗られる．

個体 $p$ と重心 $G$ の近さは，ユークリッド距離で測る．

個体と重心の距離

$d (p, G) = \sqrt{{(x_{p} - x_{G})}^{2} + {(y_{p} - y_{G})}^{2}}$

各個体は，最も距離が近い重心の所属になる．

所属の決定

所属 $(p) = \arg \min_{c} d (p, G)$

重心は，そのクラスターに現在所属している個体の座標の平均（重心＝重さの中心）として計算し直す．クラスター $c$ に $n_{c}$ 個の個体が所属しているとき，

重心の更新

${\bar{x}}_{c} = \frac{1}{n_{c}} \sum x_{p}$ ， ${\bar{y}}_{c} = \frac{1}{n_{c}} \sum y_{p}$ （ $p$ はクラスター $c$ に所属する個体）

「重心の更新」→「所属の決定」を1セットとして繰り返し，前回と比べて所属が変わった個体が1つもなくなったら，そこで終了（収束）とみなす．

このアプリの「次のステップ」ボタンは，手順4～5をちょうど1回分だけ実行し，そのとき所属が変わった個体の数を表示するボタンである．

下の図は，2つの重心 G1・G2 と7つの個体の例である．境界付近にある個体は，重心の位置がわずかに動くだけで，所属する重心（＝色）が入れ替わることがある．

重心が中心へ寄っていく: 反復を重ねるたびに，重心（ひし形）はだんだんその色の点の集まりの真ん中に近づいていく．
収束までの速さ: 「所属が変わった個体の数」は，多くの場合最初の数回で大きく減り，やがて0になる．減り方が点の配置やクラスター数でどう変わるかを見比べる．
矢印の軌跡: 重心の移動を示す矢印は初期化までずっと残るので，重心がどんな経路をたどって収束したかを後から確認できる．

初期値によって結果が変わる（局所最適）．k平均法は，最初にランダムに選ばれる重心の位置しだいで，最終的にたどり着くグループ分けが変わることがある．同じ点の配置のまま「現在の位置でやり直す」を何度か押し，毎回同じグループ分けになるとは限らないことを確かめてみよう．

変えるもの	起こりやすいこと
初期重心の選ばれ方	同じ点の配置でも，収束後のグループ分けが変わることがある（局所最適）
クラスター数 k を増やす	グループがより細かく分割され，1回あたりの重心の移動距離は小さくなりやすい
クラスター数 k を減らす	大まかな分割になり，色の境界をまたぐ大きな重心移動が起こりやすい
個体数を増やす	重心の位置がより安定し，1個の外れた点の影響を受けにくくなる

クラスタリング	データを，似ているもの同士のグループ（クラスター）に分ける作業．
重心（セントロイド）	クラスターに属する点の座標の平均．実データではなく計算で求めた代表点．
所属	ある個体がどのクラスター（重心）に属しているかという関係．
反復	「重心の更新」→「所属の決定」の1セット．このアプリの「次のステップ」に対応．
収束	反復を重ねても所属が変化しなくなった状態．これ以上結果が変わらないという合図．
局所最適	初期条件しだいで，本当に最も良い分け方ではない結果に落ち着いてしまうこと．

この記事は k平均法学習アプリの実装内容にもとづく解説であり，実際にアプリを操作しながら読むことを想定している．

ホーム>>カテゴリー別分類>>データ分析>>k平均法（k-means法）を動かして学ぶ

最終更新日：2026年7月17日