対数正規分布(log-normal distribution)

対数正規分布は，正規分布 $f (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π} σ} e^{- \frac{1}{2} {(\frac{x - μ}{σ})}^{2}}$ の確率変数 $X$ を $Y = e^{X}$ を用いて確率変数 $y$ に変換することによって得られた分布で，確率密度関数（確率分布）が

$g (y) = \frac{1}{\sqrt{2 π} σ y} e^{- \frac{1}{2} {(\frac{\log y - μ}{σ})}^{2}}$ 　･･････(1)

となる．累積分布関数は

$G (x) = \int_{- \infty}^{y} g (t) d t$ $= \int_{- \infty}^{y} \frac{1}{\sqrt{2 π} σ y} e^{- \frac{1}{2} {(\frac{\log y - μ}{σ})}^{2}} d t$ $= \frac{1}{2} [1 + erf (\frac{\log y - μ}{\sqrt{2} σ})]$ 　･･････(2)

（ただし， $erf (x)$ は誤差関数で， $erf (x) = \frac{2}{\sqrt{π}} \int_{0}^{x} e^{- t^{2}} d t$ である）

である．

■導出

確率変数 $X$ が正規分布 $N (μ, σ)$ に従っているとする．確率密度関数

$f (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π} σ} e^{- \frac{1}{2} {(\frac{x - μ}{σ})}^{2}}$ 　･･････(3)

より

$\int_{- \infty}^{\infty} f (x) d x$ $= \int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 π} σ} e^{- \frac{1}{2} {(\frac{x - μ}{σ})}^{2}} d x$ $= 1$ 　･･････(4)

となる．

確率変数 $X$ を $Y = e^{X}$ を用いて確率変数 $y$ に変換する．

$x = \log y$ 　 $y > 0$ とおいて上の定積分を変数 $x$ から変数 $y$ 置換する．

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{y} \to d x = \frac{1}{y} d y$

$x : - \infty \to \infty$ のとき $y : 0 \to \infty$

より，(4)を書き直すと

$\int_{0}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 π} σ} e^{- \frac{1}{2} {(\frac{\log y - μ}{σ})}^{2}} \cdot \frac{1}{y} d y$ $= \int_{0}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 π} σ y} e^{- \frac{1}{2} {(\frac{\log y - μ}{σ})}^{2}} d y$ $= 1$ 　･･････(5)

となる．

$g (y) = \frac{1}{\sqrt{2 π} σ y} e^{- \frac{1}{2} {(\frac{\log y - μ}{σ})}^{2}}$ 　 $y > 0$ 　･･････(6)

とおくと

$\int_{0}^{1} g (y) d y = 1$ 　･･････(7)

となり，確率密度関数の条件を満たしている．

確率変数 $Y$ の自然対数 $\log Y$ が正規分布に従うので，この確率分布を対数正規分布という．

対数を取っていることより，低い方に一定の限度がある場合に適応できる分布である．

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最終更新日： 2024年3月13日