中心極限定理

互いに独立な$n$ 個の確率変数 ${\displaystyle X_1,X_2,\cdot \cdot \cdot ,X_n}$が平均${\displaystyle \mu }$，分散${\displaystyle {\sigma }^2}$をもつ同一な確率分布に従っているとき，確率変数

${\displaystyle \overline{X}=\frac{1}{n}\left(X_1+X_2+\cdot \cdot \cdot +X_n\right)}$

について

${\displaystyle E\left(\overline{X}\right)=\mu }$，${\displaystyle V\left(\overline{X}\right)=\frac{{\sigma }^2}{n}}$

が成りたち，${\displaystyle n\to +\infty }$のとき．${\displaystyle \overline{X}}$ は，正規分布 $N\left(\mu ,\frac{{\sigma }^2}{n}\right)$ に従う．

また，${\displaystyle \overline{X}}$ を標準化した確率変数

${\displaystyle Y=\frac{\overline{X}-\mu }{\sqrt{\frac{{\sigma }^2}{n}}}}$　

は，${\displaystyle n\to +\infty }$のとき標準正規分布 ${\displaystyle N\left(0,1\right)}$に従う．

　

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　最終更新日： 2024年2月14日

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