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決定係数（coefficient of determination）

決定係数 ${\displaystyle R^2}$ は，全変動 ${\displaystyle {\displaystyle \sum }_{i=1}^n{\left(y_i-\overline{y}\right)}^2}$ の内の回帰変動 ${\displaystyle {\displaystyle \sum }_{i=1}^n{\left({\widehat{y}}_i-\overline{\widehat{y}}\right)}^2}$ の割合のことで(変動の分解を参照)

で表される．

変動の分解

全変動(TSS)＝回帰変動(SSR)+残差変動(SSE)

${\displaystyle {\displaystyle \sum }_{i=1}^n{\left(y_i-\overline{y}\right)}^2}$ ${\displaystyle ={\displaystyle \sum }_{i=1}^n{\left({\widehat{y}}_i-\overline{\widehat{y}}\right)}^2+{\displaystyle \sum }_{i=1}^n{\left({\epsilon }_i-\overline{\epsilon }\right)}^2}$   ･･････(2)

の関係を用いて(1)を書きかえると

${\displaystyle R^2=\frac{{\displaystyle \sum _{i=1}^n{\left(y_i-\overline{y}\right)}^2-\sum _{i=1}^n{\left({\epsilon }_i-\overline{\epsilon }\right)}^2}}{{\displaystyle \sum _{i=1}^n{\left(y_i-\overline{y}\right)}^2}}}$ ${\displaystyle =1-\frac{{\displaystyle \sum _{i=1}^n{\left({\epsilon }_i-\overline{\epsilon }\right)}^2}}{{\displaystyle \sum _{i=1}^n{\left(y_i-\overline{y}\right)}^2}}}$   ･･････(3)

${\displaystyle {\epsilon }_i=y_i-{\widehat{y}}_i}$ ， ${\displaystyle \overline{\epsilon }=0}$ より，(3)を書きかえると

${\displaystyle R^2=1-\frac{{\displaystyle \sum _{i=1}^n{\left(y_i-{\widehat{y}}_i\right)}^2}}{{\displaystyle \sum _{i=1}^n{\left(y_i-\overline{y}\right)}^2}}}$  ･･････(4)

となる．

決定係数 ${\displaystyle R^2}$ が1に近いことは，全変動に対する残差変動（残差平方和）の割合が小さいことを意味する． 言い換えると，実際の値 $y_i$ と予測値 ${\displaystyle {\widehat{y}}_i}$ との差が小さいことを表す． すなわち，決定係数 $R^2$ の値が1に近いほど，回帰式のデータへのあてはまりが良いことを表す．

 

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　最終更新日： 2026年5月11日

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