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同時確率分布

■離散型確率変数の場合

離散型確率変数 ${\displaystyle X,Y}$について

${\displaystyle h\left(x_i,y_j\right)=P\left(X=x_i,Y=y_j\right)}$　${\displaystyle \left(i=1,\cdot \cdot \cdot ,n;j=1,\cdot \cdot \cdot ,m\right)}$

により定まり関数${\displaystyle h\left(x,y\right)}$を確率変数${\displaystyle X,Y}$の同時確率分布という．

離散的な確率変数${\displaystyle X,Y}$の同時確率分布${\displaystyle h\left(x,y\right)}$について

${\displaystyle \sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^{m}h\left(x_i,y_j\right)=1}$

${\displaystyle \sum _{j=1}^{m}h\left(x,y_j\right)=f\left(x\right)}$　（$X$ の確率分布）

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}h\left(x_i,y\right)=g\left(y\right)}$　（$Y$ の確率分布）

が成立する．

■連続型確率変数の場合

${\displaystyle D}$を${\displaystyle xy}$ 面上の領域とする．連続な2つの確率変数${\displaystyle X,Y}$について

${\displaystyle P\left(\left(X,Y\right)\in D\right)={\iint }_{D}h\left(x,y\right)dxdy}$

が成立するとき，${\displaystyle h\left(x,y\right)}$を${\displaystyle X,Y}$の同時確率密度関数という．

${\displaystyle h\left(x,y\right)}$を連続的な確率変数${\displaystyle X,Y}$の同時確率密度関数とするとき

${\displaystyle f\left(x\right)={{\displaystyle \int }}_{-\infty }^{+\infty }h\left(x,y\right)dy}$

${\displaystyle g\left(y\right)={{\displaystyle \int }}_{-\infty }^{+\infty }h\left(x,y\right)dx}$

はそれぞれ$X$ と$Y$ の確率密度関数である．また

${\displaystyle {\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }h\left(x,y\right)dxdy=1}$

が成立する．

$X$ と$Y$ の同時確率密度関数を${\displaystyle N\left(x,y\right)}$，${\displaystyle X,Y}$の確率密度関数をそれぞれ${\displaystyle f\left(x\right),g\left(y\right)}$とする．

${\displaystyle h\left(x,y\right)=f\left(x\right)g\left(y\right)}$

が成立するとき，$X$ と$Y$ は独立であるという．

　

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最終更新日： 2024年4月9日

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