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応用分野： E(aX+b)＝aE(X)+b ， V(X)＝E(X^2)-{E(X)}^2 ， V(aX+b)＝a^2E(X) ， E(aX)とE(bY)の和， XとYが独立な確率変数の場合：E(XY)＝E(X)E(Y) ， E(aX)とE(bY)の和， XとYが独立な確率変数の場合：C(X，Y)＝0 ， XとYが独立な確率変数の場合：V(aX+bY)＝(a^2)V(X)+(b^2)V(Y) ， XとYが独立な確率変数の場合：V(X+Y)＝V(X)+V(Y) ， V(X＋Y)＝V(X)＋2C(X，Y)＋V(Y) ， V(aX＋bY)＝a^2V(X)＋2abC(X，Y)+b^2V(Y) ，続きを見る

$E (X)$ ， $V (X)$ ， $C (X, Y)$ の計算則

■確率変数 $X$ について

$E (a X) = a E (X)$ 　⇒　証明
$E (a X + b) = a E (X) + b$ 　⇒　証明
$V (a X) = a^{2} V (X)$ 　⇒　証明
$V (a X + b) = a^{2} V (X)$ 　⇒　証明
$V (X) = E (X^{2}) - {\{E (X)\}}^{2}$ 　⇒　証明

■2つの確率変数 $X$ ， $Y$ について

$E (X + Y) = E (X) + E (Y)$ 　⇒　証明
$E (a X + b Y) = a E (X) + b E (Y)$ 　⇒　証明
$V (X + Y) = V (X) + 2 C (X, Y) + V (Y)$ 　⇒　証明
$V (a X + b Y)$ $= a^{2} V (X) + 2 a b C (X, Y) + b^{2} V (Y)$ 　⇒　証明
$C (X, Y) = E (X Y) - E (X) E (Y)$ 　⇒　証明
$C (X + a, Y + b)$ $= C (X, Y)$ 　⇒　証明
$C (a X, b Y) = a b C (X, Y)$ 　⇒　証明

● $X$ と $Y$ が独立な確率変数の場合

$E (X Y) = E (X) E (Y)$ 　⇒　証明
$C (X, Y) = 0$ 　⇒　証明
$V (X + Y) = V (X) + V (Y)$ 　⇒　証明
$V (a X + b Y) = a^{2} V (X) + b^{2} V (Y)$ 　⇒　証明

　

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最終更新日： 2026年7月9日

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