$E\left(X\right)$，$V\left(X\right)$，$C\left(X,Y\right)$の計算則

■確率変数${\displaystyle X}$について

• ${\displaystyle E\left(aX\right)=aE\left(X\right)}$　⇒　証明
• ${\displaystyle V\left(aX\right)=a^{2}V\left(X\right)}$　⇒　証明
• ${\displaystyle V\left(X\right)=E\left(X^2\right)-{\left\{E\left(X\right)\right\}}^2}$　⇒　証明

■2つの確率変数 ${\displaystyle X}$，${\displaystyle Y}$ について

• $E\left(X+Y\right)=E\left(X\right)+E\left(Y\right)$　⇒　証明
• ${\displaystyle E\left(aX+bY\right)=aE\left(X\right)+bE\left(Y\right)}$　⇒　証明
• ${\displaystyle V\left(X+Y\right)=V\left(X\right)+2C\left(X,Y\right)+V\left(Y\right)}$　⇒　証明
• ${\displaystyle V\left(aX+bY\right)}$${\displaystyle =a^{2}V\left(X\right)+2abC\left(X,Y\right)+b^{2}V\left(Y\right)}$　⇒　証明
• ${\displaystyle C\left(X,Y\right)=E\left(XY\right)-E\left(X\right)E\left(Y\right)}$　⇒　証明
• ${\displaystyle C\left(aX,bY\right)=abC\left(X,Y\right)}$　⇒　証明

●$X$ と$Y$が独立な確率変数の場合

• ${\displaystyle E\left(XY\right)=E\left(X\right)E\left(Y\right)}$　⇒　証明
• ${\displaystyle C\left(X,Y\right)=0}$　⇒　証明
• ${\displaystyle V\left(aX+bY\right)=a^{2}V\left(X\right)+b^{2}V\left(Y\right)}$　⇒　証明

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最終更新日： 2025年4月25日

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