誤差 (error)

誤差とは、説明変数 $X$ の実現値 $x_{i}$ における目的変数 $Y$ の実現値 $y_{i}$ と母集団における真の回帰式による期待値 $μ_{i}$ との差である．

図1 誤差の説明図

真の回帰式が

$μ_{y} = β_{0} + β_{1} x$

ただし， $μ_{y} = E (Y | X = x)$ ，すなわち， $μ_{y}$ は $X = x$ での $Y$ の期待値を意味する．

の1次式で表される場合について説明する．

説明変数 $X$ の実現値が $x_{i}$ のときの目的変数 $Y$ の実現値が $y_{i}$ とすると，誤差 $ε_{i}$ は

$ε_{i} = y_{i} - μ_{i}$ $= y_{i} - (β_{0} + β_{1} x_{i})$

となる．

$e_{i} = y_{i} - {\hat{y}}_{i}$ $= y_{i} - ({\hat{β}}_{0} + {\hat{β}}_{1} x_{i})$

である．

図2に残差 $e_{i}$ と誤差 $ε_{i}$ の違いを示す．

図2 残差 $e_{i}$ と誤差 $ε_{i}$ の違い

標本から求めた回帰式を

$\hat{y} = {\hat{β}}_{0} + {\hat{β}}_{1} x$

母集団における真の回帰式を

$μ_{y} = β_{0} + β_{1} x$

とする．

　最終更新日： 2026年7月22日