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確率変数の独立性 (independence of random variables)

■離散型確率変数の場合

２つの確率変数 $X$ と $Y$ において

${\displaystyle P\left(X=x,Y=y\right)=P\left(X=x\right)\cdot P\left(Y=y\right)}$

が，$X$ と $Y$の取り得る任意の $x$ と $y$ で成り立つとき，２つの確率変数 $X$ と $Y$ は互いに独立であるという．

確率変数 ${\displaystyle X,Y}$ の同時確率関数 ${\displaystyle h\left(x,y\right)}$ と $X$ および $Y$ の周辺確率関数 ${\displaystyle f\left(x\right)}$ ， ${\displaystyle g\left(x\right)}$ を用いると

${\displaystyle h\left(x,y\right)=f\left(x\right)g\left(y\right)}$

が，$X$ と $Y$の取り得る任意の $x$ と $y$ で成り立つとき，２つの確率変数 $X$ と $Y$ は互いに独立であるという．

■連続型確率変数の場合

２つの確率変数 $X$ と $Y$ において

${\displaystyle P\left(X\leqq x,Y\leqq y\right)=P\left(X\leqq x\right)\cdot P\left(Y\leqq y\right)}$

が，任意の $x$ と $y$ で成り立つとき，２つの確率変数 $X$ と $Y$ は互いに独立であるという．

確率変数 ${\displaystyle X,Y}$ の同時分布関数 ${\displaystyle H\left(x,y\right)}$，同時確率関数 ${\displaystyle h\left(x,y\right)}$ と $X$ および $Y$ の周辺分布関数 ${\displaystyle F\left(x\right)}$ ， ${\displaystyle G\left(x\right)}$，周辺確率関数 ${\displaystyle f\left(x\right)}$ ， ${\displaystyle g\left(x\right)}$ を用いると

${\displaystyle H\left(x,y\right)=F\left(x\right)G\left(y\right)}$

${\displaystyle h\left(x,y\right)=f\left(x\right)g\left(y\right)}$

が，任意の $x$ と $y$ で成り立つとき，２つの確率変数 $X$ と $Y$ は互いに独立であるという．

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　最終更新日： 2026年4月8日

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