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共分散(covariance)

共分散 σxy とは,二つの変量xy の相関の程度を表したものであり,二つの変量がそれぞれn個あるとき

σxy=1nni=1(xiˉx)(yiˉy) ・・・・・・(1)

と定義されている.なお,計算する際は上(1)を用いると計算が煩雑になることが多いため,(1)を以下のように変形して用いるとよい.

σxy=1nni=1(xiˉx)(yiˉy)

=1nni=1(xiyiˉxyiˉyxi+ˉxˉy)

=1nni=1xiyi1nˉxni=1yi1nˉyni=1xi+1nˉxˉyni=11

=1nni=1xiyiˉxˉyˉyˉx+1nˉxˉyn

∵ 1nni=1y=ˉyi1nni=1xi=ˉx

=1nni=1xiyiˉxˉy

共分散Covariance(共分散)の頭文字を用いて C(X,Y) と表現することもある,この共分散をExpected Value(期待値)の頭文字を用いたE()という表現を用いると,共分散C(X,Y)

σxy=C(X,Y)

E(X)=μxE(Y)=μy とおくと

=E((Xμx)(Yμy))

=E(XYμxYμyX+μxμy)

=E(XY)E(μxY)E(μyX)+E(μxμy)

=E(XY)μxE(Y)μyE(X)+μxμy

=E(XY)E(X)E(Y)E(X)E(Y)+E(X)E(Y)

=E(XY)E(X)E(Y)

となる. 

 

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 最終更新日: 2024年2月24日

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