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共分散 σxy とは,二つの変量x,y の相関の程度を表したものであり,二つの変量がそれぞれn個あるとき
σxy=1nn∑i=1(xi−ˉx)(yi−ˉy) ・・・・・・(1)
と定義されている.なお,計算する際は上(1)を用いると計算が煩雑になることが多いため,(1)を以下のように変形して用いるとよい.
σxy=1nn∑i=1(xi−ˉx)(yi−ˉy)
=1nn∑i=1(xiyi−ˉxyi−ˉyxi+ˉxˉy)
=1nn∑i=1xiyi−1nˉxn∑i=1yi−1nˉyn∑i=1xi+1nˉxˉyn∑i=11
=1nn∑i=1xiyi−ˉxˉy−ˉyˉx+1nˉxˉy⋅n
∵ 1nn∑i=1y=ˉyi,1nn∑i=1xi=ˉx
=1nn∑i=1xiyi−ˉxˉy
共分散をCovariance(共分散)の頭文字を用いて C(X,Y) と表現することもある,この共分散をExpected Value(期待値)の頭文字を用いたE()という表現を用いると,共分散C(X,Y) は
σxy=C(X,Y)