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2変量正規分布

連続的な確率変数 ${\displaystyle X_1}$ ， ${\displaystyle X_2}$ の同時確率密度関数が 

で与えられるとき， ${\displaystyle \left(X_1,X_2\right)}$ は2変量正規分布 ${\displaystyle N\left({\mu }_1,{\mu }_2,{\sigma }_1^2,{\sigma }_2^2,\rho \right)}$ に従うという．

${\displaystyle X_1}$ の周辺確率密度関数は

${\displaystyle f_1\left(x_1\right)={{\displaystyle \int }}_{-\infty }^{\infty }p\left(x_1,x_2\right)d{x}_2}$ ${\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{2\pi }{\sigma }_1}{e}^{-\frac{1}{2}{\left(\frac{x_1-{\mu }_1}{{\sigma }_1}\right)}^2}}$   ･･････(8)

${\displaystyle X_2}$ の周辺確率密度関数は

${\displaystyle f_2\left(x_2\right)={{\displaystyle \int }}_{-\infty }^{\infty }p\left(x_1,x_2\right)d{x}_1}$ ${\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{2\pi }{\sigma }_2}{e}^{-\frac{1}{2}{\left(\frac{x_2-{\mu }_2}{{\sigma }_2}\right)}^2}}$   ･･････(9)

となり， ${\displaystyle X_1}$ は正規分布 ${\displaystyle N\left({\mu }_1,{\sigma }_1^2\right)}$ に従い， ${\displaystyle X_2}$ は正規分布 ${\displaystyle N\left({\mu }_2,{\sigma }_2^2\right)}$ に従っている．

■2変量正規分布の性質

相関係数 $\rho$ が $0$ ，言い換えると，共分散 ${\displaystyle \text{Cov}\left(X_1,X_2\right)}$ が $0$ のとき

${\displaystyle p\left(x_1,x_2\right)=\frac{1}{2\pi {\sigma }_1{\sigma }_2}{e}^{-\frac{1}{2}\left\{{\left(\frac{x_1-{\mu }_1}{{\sigma }_1}\right)}^2+{\left(\frac{x_2-{\mu }_2}{{\sigma }_2}\right)}^2\right\}}}$

${\displaystyle =\left\{\frac{1}{\sqrt{2\pi }{\sigma }_1}{e}^{-\frac{1}{2}{\left(\frac{x_1-{\mu }_1}{{\sigma }_1}\right)}^2}\right\}\left\{\frac{1}{\sqrt{2\pi }{\sigma }_2}{e}^{-\frac{1}{2}{\left(\frac{x_2-{\mu }_2}{{\sigma }_2}\right)}^2}\right\}}$

${\displaystyle =f_1\left(x_1\right)f_2\left(x_2\right)}$   ･･････(10)

となり， ${\displaystyle X_1}$ と ${\displaystyle X_2}$ は互いに独立である．

■導出

確率変数 $Y_1$ ， $Y_2$ は，互いに独立で

${\displaystyle Y_1\sim N\left(0,1\right)}$   ･･････(11)

${\displaystyle Y_2\sim N\left(0,1\right)}$   ･･････(12)

とする．

$Y_1$ の確率密度関数は(11)より

${\displaystyle g_1\left(y_1\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{1}{2}{y}_1^2}}$   ･･････(13)

$Y_2$ の確率密度関数は(12)より

${\displaystyle g_2\left(y_2\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{1}{2}{y}_2^2}}$   ･･････(14)

$Y_1$ ， $Y_2$ の同時確率密度関数 ${\displaystyle h\left(y_1,y_2\right)}$ は $Y_1$ ， $Y_2$ は独立より

${\displaystyle h\left(y_1,y_2\right)=g_1\left(y_1\right)g_2\left(y_2\right)}$ ${\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{1}{2}{y}_1^2}\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{1}{2}{y}_2^2}}$ ${\displaystyle =\frac{1}{2\pi }{e}^{-\frac{1}{2}\left(y_1^2+y_2^2\right)}}$   ･･････(15)

となる．

$Y_1$ ， $Y_2$ から以下の式で確率変数の変換を行って確率変数 $X_1$ ， $X_2$ を作る．

${\displaystyle X_1=a_{11}{Y}_1+a_{12}{Y}_2+{\mu }_1}$   ･･････(16)

${\displaystyle X_2=a_{21}{Y}_1+a_{22}{Y}_2+{\mu }_2}$   ･･････(17)

(16)，(17)をベクトル，行列を使って記述する．

${\displaystyle \left(\begin{array}{c}{X}_1\\ X_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{Y}_1\\ Y_2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}{\mu }_1\\ {\mu }_2\end{array}\right)}$   ･･････(18)

${\displaystyle \left(\begin{array}{c}{X}_1\\ X_2\end{array}\right)=X}$   ･･･(19)， ${\displaystyle {\displaystyle \left(\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right)=A}}$   ･･･(20) ， ${\displaystyle \left(\begin{array}{c}{Y}_1\\ Y_2\end{array}\right)=Y}$   ･･･(21) ， ${\displaystyle \left(\begin{array}{c}{\mu }_1\\ {\mu }_2\end{array}\right)=\mu }$   ･･･(22)

とおくと

${\displaystyle X=AY+\mu }$   ･･････(23)

となる． $X_1$ ， $X_2$ の平均 ${\displaystyle E\left(X_1\right)}$ ， ${\displaystyle E\left(X_2\right)}$ ，分散 ${\displaystyle \text{Var}\left(X_1\right)}$ ， ${\displaystyle \text{Var}\left(X_2\right)}$ ，共分散 ${\displaystyle \text{Cov}\left(X_1,X_2\right)}$ は

${\displaystyle E\left(X_1\right)={\mu }_1}$   ･･････(24)

${\displaystyle E\left(X_2\right)={\mu }_2}$   ･･････(25)

${\displaystyle \text{Var}\left(X_1\right)=a_{11}^2+a_{12}^2}$   ･･････(26)

${\displaystyle \text{Var}\left(X_2\right)=a_{21}^2+a_{22}^2}$   ･･････(27)

${\displaystyle \text{Cov}\left(X_1,X_2\right)=a_{11}{a}_{21}+a_{12}{a}_{22}}$   ･･････(28)

各計算の詳細はここを見てください．

$X_1$ ， $X_2$ の同時確率密度関数を ${\displaystyle p\left(x_1,x_2\right)}$ とする．領域 ${\displaystyle D_y}$ が(18)の変換によって領域 ${\displaystyle D_x}$ に変換されたとする．

${\displaystyle P\left(\left(Y_1,Y_2\right)\in D_y\right)=P\left(\left(X_1,X_2\right)\in D_x\right)}$   ･･････(29)

の関係より

${\displaystyle {\displaystyle {\iint }_{D_y}h\left(y_1,y_2\right)d{y}_{1}d{y}_2}={\displaystyle {\iint }_{D_x}p\left(x_1,x_2\right)d{x}_{1}d{x}_2}}$   ･･････(30)

となる．(30)の左辺は重積分の計算より

${\displaystyle {{\displaystyle \iint }}_{D_y}h\left(y_1,y_2\right)d{y}_{1}d{y}_2}$ ${\displaystyle ={{\displaystyle \iint }}_{D_x}h\left(y_1,y_2\right)\left|\frac{\partial \left(y_1,y_2\right)}{\partial \left(x_1,x_2\right)}\right|d{x}_{1}d{x}_2}$   ･･････(31)

となる．

ただし，右辺の $h\left(y_1,y_2\right)$ の $y_1$ ， $y_2$ は (16)，(17)より求めた

${\displaystyle y_1=\frac{a_{22}\left(x_1-{\mu }_1\right)-a_{12}\left(x_2-{\mu }_2\right)}{a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21}}}$   ･･････(32)

${\displaystyle y_2=\frac{-a_{21}\left(x_1-{\mu }_1\right)+a_{11}\left(x_2-{\mu }_2\right)}{a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21}}}$   ･･････(33)

である（計算はここを参照）．

(32)，(33)を用いると(計算はここを参照)

${\displaystyle \left|\frac{\partial \left(y_1,y_2\right)}{\partial \left(x_1,x_2\right)}\right|=\frac{1}{\left|\left|\mathit{A}\right|\right|}}$   ･･････(34)

ただし， ${\displaystyle \left|\left|A\right|\right|}$ は行列 ${\displaystyle A}$ の行列式 ${\displaystyle \left|A\right|}$ の絶対値．

(31) の右辺の $h\left(y_1,y_2\right)$ に (32)，(33) を代入したものを求めるのに，まず， ${\displaystyle h\left(y_1,y_2\right)}$ の指数部分の ${\displaystyle y_1^2+y_2^2}$ を以下のように整理する．

${\displaystyle y_1^2+y_2^2}$ ${\displaystyle ={\left\{\frac{a_{22}\left(x_1-{\mu }_1\right)-a_{12}\left(x_2-{\mu }_2\right)}{a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21}}\right\}}^2}$ ${\displaystyle +{\left\{\frac{-a_{21}\left(x_1-{\mu }_1\right)+a_{11}\left(x_2-{\mu }_2\right)}{a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21}}\right\}}^2}$

${\displaystyle =\frac{1}{{\left(a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21}\right)}^2}\left\{\left(a_{22}^2+a_{21}^2\right){\left(x_1-{\mu }_1\right)}^2-2\left(a_{12}{a}_{22}+a_{11}{a}_{21}\right)\left(x_1-{\mu }_1\right)\left(x_2-{\mu }_2\right)+\left(a_{12}^2+a_{11}^2\right){\left(x_2-{\mu }_2\right)}^2\right\}}$   ･･････(35)

ここで

${\displaystyle \text{Var}\left(X_1\right)={\sigma }_1^2}$ ， ${\displaystyle \text{Var}\left(X_2\right)={\sigma }_2^2}$ ， ${\displaystyle \text{Cov}\left(X_1,X_2\right)={\sigma }_{12}}$

とおくと

${\displaystyle a_{11}^2+a_{12}^2={\sigma }_1^2}$   ･･････(36)

${\displaystyle a_{21}^2+a_{22}^2={\sigma }_2^2}$   ･･････(37)

${\displaystyle a_{11}{a}_{21}+a_{12}{a}_{22}={\sigma }_{12}}$   ･･････(38)

となる．

${\displaystyle \left|\mathit{A}\right|=a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21}}$ より

${\displaystyle {\left|\left|\mathit{A}\right|\right|}^2={\left(a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21}\right)}^2}$ ${\displaystyle =a_{11}^2{a}_{22}^2-2a_{11}{a}_{12}{a}_{21}{a}_{22}+a_{12}^2{a}_{21}^2}$   ･･････(39)

(38)より

${\displaystyle {\sigma }_{12}^2={\left(a_{11}{a}_{21}+a_{12}{a}_{22}\right)}^2}$ ${\displaystyle =a_{11}^2{a}_{21}^2+2a_{11}{a}_{12}{a}_{21}{a}_{22}+a_{12}^2{a}_{22}^2}$   ･･････(40)

(36)，(37)より

${\displaystyle {\sigma }_1^2{\sigma }_2^2=\left(a_{11}^2+a_{12}^2\right)\left(a_{21}^2+a_{22}^2\right)}$ ${\displaystyle =a_{11}^2{a}_{21}^2+a_{11}^2{a}_{22}^2+a_{12}^2{a}_{21}^2+a_{12}^2{a}_{22}^2}$   ･･････(41)

(39)+(40)より

${\displaystyle {\left|\left|\mathit{A}\right|\right|}^2+{\sigma }_{12}^2}$ ${\displaystyle =a_{11}^2{a}_{21}^2+a_{11}^2{a}_{22}^2+a_{12}^2{a}_{21}^2+a_{12}^2{a}_{22}^2}$   ･･････(42)

(41)と(42)より

${\displaystyle {\left|\left|\mathit{A}\right|\right|}^2+{\sigma }_{12}^2={\sigma }_1^2{\sigma }_2^2}$

${\displaystyle {\left|\left|\mathit{A}\right|\right|}^2={\sigma }_1^2{\sigma }_2^2-{\sigma }_{12}^2}$ ${\displaystyle ={\sigma }_1^2{\sigma }_2^2\left(1-\frac{{\sigma }_{12}^2}{{\sigma }_1^2{\sigma }_2^2}\right)}$ ${\displaystyle ={\sigma }_1^2{\sigma }_2^2\left(1-{\rho }^2\right)}$

∵ ${\displaystyle \frac{{\sigma }_{12}}{{\sigma }_1{\sigma }_2}=\rho }$

すなわち

${\displaystyle \left|\left|\mathit{A}\right|\right|=\sqrt{{\sigma }_1^2{\sigma }_2^2\left(1-{\rho }^2\right)}}$   ･･････(43)

あるいは

${\displaystyle \left|a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21}\right|=\sqrt{{\sigma }_1^2{\sigma }_2^2\left(1-{\rho }^2\right)}}$   ･･････(44)

となる．

(34)に(43)を代入すると

${\displaystyle \left|\frac{\partial \left(y_1,y_2\right)}{\partial \left(x_1,x_2\right)}\right|=\frac{1}{\sqrt{{\sigma }_1^2{\sigma }_2^2\left(1-{\rho }^2\right)}}}$   ･･････(45)

(36)，(37)，(38)，(44)を使って(35)を書き換えると

${\displaystyle y_1^2+y_2^2}$ ${\displaystyle =\frac{1}{{\sigma }_1^2{\sigma }_2^2\left(1-{\rho }^2\right)}\left({\sigma }_2^2{\left(x_1-{\mu }_1\right)}^2-2{\sigma }_{12}\left(x_1-{\mu }_1\right)\left(x_2-{\mu }_2\right)+{\sigma }_1^2{\left(x_2-{\mu }_2\right)}^2\right)}$

${\displaystyle =\frac{1}{1-{\rho }^2}\left(\frac{{\left(x_1-{\mu }_1\right)}^2}{{\sigma }_1^2}-\frac{2{\sigma }_{12}\left(x_1-{\mu }_1\right)\left(x_2-{\mu }_2\right)}{{\sigma }_1^2{\sigma }_2^2}+\frac{{\left(x_2-{\mu }_2\right)}^2}{{\sigma }_2^2}\right)}$

${\displaystyle =\frac{1}{1-{\rho }^2}\left(\frac{{\left(x_1-{\mu }_1\right)}^2}{{\sigma }_1^2}-\frac{2\rho \left(x_1-{\mu }_1\right)\left(x_2-{\mu }_2\right)}{{\sigma }_1{\sigma }_2}+\frac{{\left(x_2-{\mu }_2\right)}^2}{{\sigma }_2^2}\right)}$   ･･････(46)

となる．

よって

${\displaystyle h\left(y_1,y_2\right)}$ ${\displaystyle =\frac{1}{2\pi }{e}^{-\frac{1}{2\left(1-{\rho }^2\right)}\left(\frac{{\left(x_1-{\mu }_1\right)}^2}{{\sigma }_1^2}-\frac{2\rho \left(x_1-{\mu }_1\right)\left(x_2-{\mu }_2\right)}{{\sigma }_1{\sigma }_2}+\frac{{\left(x_2-{\mu }_2\right)}^2}{{\sigma }_2^2}\right)}}$   ･･････(47)

となる．

(31)に(45)，(47)を代入すると

${\displaystyle {\displaystyle {\iint }_{D_y}h\left(y_1,y_2\right)d{y}_{1}d{y}_2}}$ ${\displaystyle ={\displaystyle {\iint }_{D_x}\frac{1}{2\pi }{e}^{-\frac{1}{2\left(1-{\rho }^2\right)}\left(\frac{{\left(x_1-{\mu }_1\right)}^2}{{\sigma }_1^2}-\frac{2\rho \left(x_1-{\mu }_1\right)\left(x_2-{\mu }_2\right)}{{\sigma }_1{\sigma }_2}+\frac{{\left(x_2-{\mu }_2\right)}^2}{{\sigma }_2^2}\right)}\frac{1}{\sqrt{{\sigma }_1^2{\sigma }_2^2\left(1-{\rho }^2\right)}}d{x}_{1}d{x}_2}}$

${\displaystyle ={\displaystyle {\iint }_{D_x}\frac{1}{2\pi \sqrt{{\sigma }_1^2{\sigma }_2^2\left(1-{\rho }^2\right)}}{e}^{-\frac{1}{2\left(1-{\rho }^2\right)}\left(\frac{{\left(x_1-{\mu }_1\right)}^2}{{\sigma }_1^2}-\frac{2\rho \left(x_1-{\mu }_1\right)\left(x_2-{\mu }_2\right)}{{\sigma }_1{\sigma }_2}+\frac{{\left(x_2-{\mu }_2\right)}^2}{{\sigma }_2^2}\right)}d{x}_{1}d{x}_2}}$   ･･････(48)

となる．

(48)より $X_1$ ， $X_2$ の同時確率密度関数 ${\displaystyle p\left(x_1,x_2\right)}$ は

$p\left(x_1,x_2\right)$ ${\displaystyle =\frac{1}{2\pi \sqrt{{\sigma }_1^2{\sigma }_2^2\left(1-{\rho }^2\right)}}{e}^{-\frac{1}{2\left(1-{\rho }^2\right)}\left(\frac{{\left(x_1-{\mu }_1\right)}^2}{{\sigma }_1^2}-\frac{2\rho \left(x_1-{\mu }_1\right)\left(x_2-{\mu }_2\right)}{{\sigma }_1{\sigma }_2}+\frac{{\left(x_2-{\mu }_2\right)}^2}{{\sigma }_2^2}\right)}}$   ･･････(49)

となる．

■同時確率密度関数のベクトル，行列，行列式を用いた表記への変換

確率変数ベクトル(19)を実現値にした

${\displaystyle \left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)=x}$

と (20)の ${\displaystyle {\displaystyle \left(\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right)=A}}$ ，(22)の ${\displaystyle \left(\begin{array}{c}{\mu }_1\\ {\mu }_2\end{array}\right)=\mu }$ を用いて(49)を書き直すと（詳しい計算はここを参照）

${\displaystyle p\left(x\right)=\frac{1}{2\pi \left|\left|A\right|\right|}{e}^{-\frac{1}{2}{}^t\left(x-\mu \right){\left(A{}^{t}A\right)}^{-1}\left(x-\mu \right)}}$

${\displaystyle p\left(x_1,x_2\right)}$ を ${\displaystyle p\left(x\right)}$ に書き換えている．

${\displaystyle A{}^{t}A=\Sigma }$

とおくと（詳しい計算はここを参照）

${\displaystyle p\left(x\right)=\frac{1}{2\pi {\left|\Sigma \right|}^{\frac{1}{2}}}{e}^{-\frac{1}{2}{}^t\left(x-\mu \right){\Sigma }^{-1}\left(x-\mu \right)}}$

となる．

${\displaystyle \Sigma }$ は確率ベクトル ${\displaystyle X}$ の分散共分散行列である．

　

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最終更新日： 2026年7月10日

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