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連続型確率分布

連続型確率変数 ${\displaystyle X}$ が，任意の実数 $a$ ， $b$ ${\displaystyle \left(a<b\right)}$ に対して

${\displaystyle P\left(a<X\leqq b\right)={\int }_a^{b}f\left(x\right)dx}$

のような関数 ${\displaystyle f\left(x\right)}$ （ただし ${\displaystyle f\left(x\right)\geqq 0}$ ）をもつとき ， ${\displaystyle f\left(x\right)}$ を確率変数 ${\displaystyle X}$ の確率密度関数という．

■定理

連続型確率変数 ${\displaystyle X}$ の 確率密度関数 $$ を ${\displaystyle f\left(x\right)}$ とするとき，次の式が成立する．

• ${\displaystyle {\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left(x\right)dx=1}$

• 任意の実数 $a$ に対して ${\displaystyle P\left(X=a\right)=0}$

• 任意の実数 $a$ ， $b$ （ ただし， ${\displaystyle a<b}$ ）に対して

  ${\displaystyle P\left(a<X\leqq b\right)}$ ${\displaystyle =P\left(a\leqq X\leqq b\right)}$ ${\displaystyle =P\left(a\leqq X<b\right)}$ ${\displaystyle =P\left(a<X<b\right)}$

■解説

確率密度関数を確率関数からイメージするための図を以下に示す.

左端のグラフが離散型確率分布の確率関数で，真ん中のグラフは，確率関数のグラフを幅1の長方形を用いたグラフに書き換えたものである． ${\displaystyle i\to \infty }$ として，確率変数が離散型から連続型とみなせるようにしたものが確率密度関数になる．

${\displaystyle {{\displaystyle P\left(a\leqq X\leqq b\right)=\int }}_a^{b}f\left(x\right)dx}$ の値は，下の図のように赤い部分の面積になる.

 

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最終更新日： 2025年4月27日

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