離散型確率分布

離散型確率変数 $X$ について

$f (x_{i}) = P (X = x_{i})$ $(i = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, n)$

により定まる関数 $f (x)$ を確率変数 $X$ の確率関数（あるいは確率分布）という

■定理

$x_{1}, \cdot \cdot \cdot, x_{n}$ の値をとる離散型確率変数 $X$ の確率関数を $f (x)$ とするとき，以下の式が成り立つ．

$f (x_{i}) ≧ 0$ 　　 $(i = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, n)$

確率は $0$ 以上の値になるので，上式が成り立つ．
$\sum_{i = 1}^{n} f (x_{i}) = 1$

各確率変数 $X$ に対する確率の総和は $1$ になる．
$P (a ≦ X ≦ b) = \sum_{a ≦ x_{i} ≦ b} f (x_{i})$

■事例

●事例1

サイコロを振った時の各目のでる確率を以下に示す．確率変数 $X$ はサイコロの目の数とする．

$f (1) = P (X = 1) = \frac{1}{6}$ ， $f (2) = P (X = 2) = \frac{1}{6}$ ， $f (3) = P (X = 3) = \frac{1}{6}$ ， $f (4) = P (X = 4) = \frac{1}{6}$ ， $f (5) = P (X = 5) = \frac{1}{6}$ ， $f (6) = P (X = 6) = \frac{1}{6}$

$\sum_{i = 1}^{n} f (i)$ $= f (1) + f (2) + f (3) + f (4) + f (5) + f (6)$

$= \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6}$ $= 1$

$P (1 ≦ X ≦ 3)$ $= \sum_{1 ≦ i ≦ 3} f (i)$ $= f (1) + f (2) + f (3)$ $= \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{2}$

●事例2

2つのサイコロを振った時の出た目の和を確率変数 $X$ とする．

確率変数 $X$ は

$X = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12$

となる.各確率変数 $X$ の値の場合の数(サイコロのでた目の組)を書き出すと

$X = 2$ のとき： $(1, 1)$

$X = 3$ のとき： $(1, 2)$ $(2, 1)$

$X = 4$ のとき： $(1, 3)$ $(2, 2)$ $(3, 1)$

$X = 5$ のとき： $(1, 4)$ $(2, 3)$ $(3, 2)$ $(4, 1)$

$X = 6$ のとき： $(1, 5)$ $(2, 4)$ $(3, 3)$ $(4, 2)$ $(5, 1)$

$X = 7$ のとき： $(1, 6)$ $(2, 5)$ $(3, 4)$ $(4, 3)$ $(5, 2)$ $(6, 1)$

$X = 8$ のとき： $(2, 6)$ $(3, 5)$ $(4, 4)$ $(5, 3)$ $(6, 2)$

$X = 9$ のとき： $(3, 6)$ $(4, 5)$ $(5, 4)$ $(6, 3)$

$X = 10$ のとき： $(4, 6)$ $(5, 5)$ $(6, 4)$

$X = 11$ のとき： $(5, 6)$ $(6, 5)$

$X = 12$ のとき： $(6, 6)$

となる．よって，各確率変数 $X$ の値の確率は

$f (2) = P (X = 2) = \frac{1}{36}$ ， $f (3) = P (X = 3) = \frac{1}{18}$ ， $f (4) = P (X = 4) = \frac{1}{12}$ ， $f (5) = P (X = 5) = \frac{1}{9}$ ， $f (6) = P (X = 6) = \frac{5}{36}$ ， $f (7) = P (X = 7) = \frac{1}{6}$ ， $f (8) = P (X = 8) = \frac{5}{36}$ ， $f (9) = P (X = 9) = \frac{1}{9}$ ， $f (10) = P (X = 10) = \frac{1}{12}$ ， $f (11) = P (X = 11) = \frac{1}{18}$ ， $f (12) = P (X = 12) = \frac{1}{36}$

となる．確率関数のグラフは以下の図のようになる.

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最終更新日： 2024年4月9日