t分布

連続型確率変数 ${\displaystyle X}$ が確率密度関数

${\displaystyle f\left(x\right)=\frac{\Gamma \left(\frac{n+1}{2}\right)}{\sqrt{n\pi }\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}{\left(1+\frac{x^2}{n}\right)}^{-\frac{n+1}{2}}}$ ${\displaystyle \left(n=1,2,3,\cdot \cdot \cdot \right)}$

をもつとき， ${\displaystyle X}$ は自由度 $n$ の $t$ 分布に従うという．このことを記号を用いて表すと

${\displaystyle X\sim t_n}$

となる（${\displaystyle X\sim t\left(n\right)}$としている場合もある）．

確率変数 ${\displaystyle X}$ が自由度 $n$ の $t$ 分布に従うとき

平均： ${\displaystyle E\left(X\right)=0}$

分散： ${\displaystyle V\left(X\right)=\frac{n}{n-2}\left(n\geqq 3\right)}$

である．

■性質

• 確率変数 $X$ が正規分布 ${\displaystyle N\left(0,1\right)}$ に従い，確率変数 $Y$ が自由度 $n$ の ${\displaystyle {\chi }^2}$ 分布に従い，互いに独立であるとき

  ${\displaystyle T=\frac{X}{\sqrt{\frac{Y}{n}}}}$ ${\displaystyle \left(n=1,2,3,\cdot \cdot \cdot \right)}$

  は自由度 $n$ の $t$ 分布に従う．

■ $t$ 分布の確率密度関数

右上のスライダーの○印を動かすことにより自由度 $n$ を変更することができる．

■備考

${\displaystyle P\left(X\geqq u\right)={\displaystyle {\int }_u^{\infty }f\left(x\right)}dx}$ ${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_u^{\infty }\frac{\Gamma \left(\frac{n+1}{2}\right)}{\sqrt{n\pi }\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}{\left(1+\frac{x^2}{n}\right)}^{-\frac{n+1}{2}}dx}}$ ${\displaystyle =a}$

となる $u$ を ${\displaystyle t_n\left(a\right)}$ と表すことにする（${\displaystyle t_a\left(n\right)}$ としている場合もある）．

■Excel教材

$t$ 分布の理解を深めるための教材をマイクロソフトのExcelで作成しました．⇒Excel教材

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最終更新日： 2026年9月9日

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