回帰係数の検定

線形単回帰によって得られた標本回帰式を $\hat{y} = {\hat{β}}_{0} + {\hat{β}}_{1} x$ とすると $t_{1} = \frac{{\hat{β}}_{1} - β_{1}}{SE ({\hat{β}}_{1})}$ は自由度 $n - 2$ の $t$ 分布になる（回帰係数の確率分布2(線形単回帰)を参照）．線形単回帰分析においては，回帰式の傾き ${\hat{β}}_{1}$ の値が重要で，特に，説明変数 $X$ と目的変数 $Y$ の間に相関があるのか，ないのか判断するときに使われる．

相関があるかないかの検定においては，帰無仮説 $H_{0}$ を $β_{1} = 0$ とし，統計検定量として $t_{1} = \frac{{\hat{β}}_{1}}{SE ({\hat{β}}_{1})}$ を用いる．この $\frac{{\hat{β}}_{1}}{SE ({\hat{β}}_{1})}$ 値を $t$ 値という．対立仮説 $H_{1}$ は，場合によって異なり，両側検定の場合は $β_{1} \neq 0$ ，片側検定の場合は $β_{1} > 0$ ，あるいは， $β_{1} < 0$ となる．

自由度 $n$ での $t$ 分布における有意水準を $α$ としたときの棄却域の境界値（臨界値） $t_{n} (α)$ を

$P (X ≧ u) = α$ となるとき， $u = t_{n} (α)$

と定義すると，棄却域の境界値（臨界値） $t_{n} (α)$ を図示すると以下のようになる．

右片側検定 $H_{1} : β_{1} > 0$

確率分布と棄却域(赤色矢印)
左片側検定 $H_{1} : β_{1} < 0$

確率分布と棄却域(赤色矢印)
両側検定 $H_{1} : β_{1} \neq 0$

確率分布と棄却域(赤色矢印)

また， $p$ 値とは帰無仮説のもとで観測された $t$ 値以上に極端な値が得られる確率である．

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　最終更新日： 2026年7月23日