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中心極限定理

平均${\displaystyle \mu }$，分散${\displaystyle {\sigma }^2}$をもつ母集団から$n$個の標本，${\displaystyle x_1,x_2,\cdot \cdot \cdot ,x_n}$，を取り出す（取り出した標本は，すぐに母集合に戻し，次の標本を取り出す復元抽出）試行を考える．取り出した${\displaystyle x_1,x_2,\cdot \cdot \cdot ,x_n}$の値は，復元抽出をしていることより互いに独立な確率変数， ${\displaystyle X_1,X_2,\cdot \cdot \cdot ,X_n}$，となる．${\displaystyle x_1,x_2,\cdot \cdot \cdot ,x_n}$の平均$\overline{x}$も確率変数となり${\displaystyle \overline{X}}$ で表すとする．

確率変数

${\displaystyle \overline{X}=\frac{1}{n}\left(X_1+X_2+\cdot \cdot \cdot +X_n\right)}$　･･････(1)

について

${\displaystyle E\left(\overline{X}\right)=\mu }$　･･････(2)

${\displaystyle V\left(\overline{X}\right)=\frac{{\sigma }^2}{n}}$　･･････(3)

が成り立つ．

さらに以下のことが成り立つ．

1. ${\displaystyle n\to +\infty }$のとき．${\displaystyle \overline{X}}$ は，正規分布 $N\left(\mu ,\frac{{\sigma }^2}{n}\right)$ に従う．
2. ${\displaystyle \overline{X}}$ を標準化した確率変数 ${\displaystyle Y=\frac{\overline{X}-\mu }{\sqrt{\frac{{\sigma }^2}{n}}}}$　 は，${\displaystyle n\to +\infty }$のとき標準正規分布 ${\displaystyle N\left(0,1\right)}$に従う．
3. 母集団が正規分布に従うなら， ${\displaystyle \overline{X}}$ は $x$ の大きさに関わらず正規分布に従う．

■証明

平均${\displaystyle \mu }$，分散${\displaystyle {\sigma }^2}$をもつ母集団という前提より

${\displaystyle E\left(X_i\right)=\mu }$　･･････(4)

${\displaystyle V\left(X_i\right)={\sigma }^2}$　･･････(5)

である．

●${\displaystyle E\left(\overline{X}\right)=\mu }$について

${\displaystyle E\left(\overline{X}\right)=E\left(\frac{1}{n}\left(X_1+X_2+\cdots +X_n\right)\right)}$

${\displaystyle =\frac{1}{n}E\left(X_1+X_2+\cdots +X_n\right)}$　ここを参照

${\displaystyle =\frac{1}{n}\left\{E\left(X_1\right)+E\left(X_2\right)+\cdots +E\left(X_n\right)\right\}}$　ここを参照

${\displaystyle =\frac{1}{n}\left(\mu +\mu +\cdots +\mu \right)}$　∵(4)

${\displaystyle =\frac{1}{n}\cdot n\mu }$

${\displaystyle =\mu }$

●${\displaystyle V\left(\overline{X}\right)=\frac{{\sigma }^2}{n}}$について

${\displaystyle V\left(\overline{X}\right)=V\left(\frac{1}{n}\left(X_1+X_2+\cdots +X_n\right)\right)}$

${\displaystyle ={\left(\frac{1}{n}\right)}^{2}V\left(X_1+X_2+\cdots +X_n\right)}$　ここを参照

${\displaystyle X_1,X_2,\cdot \cdot \cdot ,X_n}$が互いに独立であることより

${\displaystyle =\frac{1}{n^2}\left\{V\left(X_1\right)+V\left(X_2\right)+\cdots +V\left(X_n\right)\right\}}$　ここを参照

${\displaystyle =\frac{1}{n^2}\left({\sigma }^2+{\sigma }^2+\cdots +{\sigma }^2\right)}$　∵(5)

${\displaystyle =\frac{1}{n^2}\cdot n{\sigma }^2}$

${\displaystyle =\frac{{\sigma }^2}{n}}$

■Excel教材

中心極限定理を理解を深めるための教材をマイクロソフトExcelで作成しました．

⇒Excel教材1：5種類の確率密度関数を使って中心極限定理を検証する教材

⇒Excel教材2：任意に最大100個の数値が設定できる母集団を用いて中心極限ているを検証する教材

　

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　最終更新日： 2024年6月4日

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