平方完成の具体例

■具体例1

$y = x^{2} + 2 x + 3$

$x^{2}$ の係数1で $x^{2}$ の項と $x$ の項をくくる．　

$= 1 (x^{2} + \frac{2}{1} x) + 3$

${(x + ○)}^{2}$ の項を作るために $x$ の項を $2 \cdot ○ \cdot x$ の形に変形する．

$= 1 (x^{2} + 2 \frac{2}{2 \cdot 1} x) + 3$

${(x + 2 \cdot ○ \cdot x + ○^{2} - ○^{2})}^{2}$ の形に変形する．

$= 1 {x^{2} + 2 \frac{2}{2 \cdot 1} x + {(\frac{2}{2 \cdot 1})}^{2} - {(\frac{2}{2 \cdot 1})}^{2}} + 3$

${(x + ○)}^{2}$ の項を作るために， $- ○^{2}$ の項を外に出す．　

$= 1 {x^{2} + 2 \frac{2}{2 \cdot 1} x + {(\frac{2}{2 \cdot 1})}^{2}} - 1 {(\frac{2}{2 \cdot 1})}^{2} + 3$

分けた2つの部分を整理する

$= {(x + \frac{2}{2 \cdot 1})}^{2} - \frac{2^{2}}{4 \cdot 1} + 3$

$= {(x + 1)}^{2} - \frac{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3}{4 \cdot 1}$

$= {(x + 1)}^{2} + 2$

■具体例2

1次の項の係数が偶数の場合

$y = x^{2} - 6 x + 7$

$x$ の1次の項の係数 $○$ を $2 \cdot ○$ の形に変形し， $○^{2}$ の項を加えて，引く

$= x^{2} - 2 \cdot 3 x + 3^{2} - 3^{2} + 7$

${(x - ○)}^{2}$ の項をつくるために式を変形する

$= (x^{2} - 2 \cdot 3 x + 3^{2}) - 3^{2} + 7$

計算して整理する

$= {(x - 3)}^{2} - 2$

■具体例3

1次の項が奇数の場合

$y = x^{2} - 3 x + 9$

$x$ の1次の項の係数 $○$ を $2 \cdot \frac{○}{2}$ の形に変形する

$= (x^{2} - 2 \cdot \frac{3}{2} x) + 9$

${(x - ○)}^{2}$ の項を作るために $()$ の中で ${(\frac{○}{2})}^{2}$ の項を加えて引く

$= {x^{2} - 2 \cdot \frac{3}{2} x + {(\frac{3}{2})}^{2} - {(\frac{3}{2})}^{2}} + 9$

${(x - ○)}^{2}$ の項をつくるために式を変形する

$= {x^{2} - 2 \cdot \frac{3}{2} x + {(\frac{3}{2})}^{2}} - {(\frac{3}{2})}^{2} + 9$

計算して整理する．

$= {(x - \frac{3}{2})}^{2} + \frac{27}{4}$

具体例4

2次の項の係数が1以外の場合の具体例その1

$y = 2 x^{2} + 5 x + 7$

$x$ の2次の項の係数で $x$ の2次の項と1次の項をくくる

$= 2 (x^{2} + \frac{5}{2} x) + 7$

$x$ の1次の項の係数 $○$ を $2 \cdot \frac{○}{2}$ の形に変形する

$= 2 (x^{2} + 2 \frac{5}{2 \cdot 2} x) + 7$

${(x - ○)}^{2}$ の項を作るために $()$ の中で ${(\frac{○}{2})}^{2}$ の項を加えて引く

$= 2 {x^{2} + 2 \frac{5}{2 \cdot 2} x + {(\frac{5}{2 \cdot 2})}^{2} - {(\frac{5}{2 \cdot 2})}^{2}} + 7$

${(x - ○)}^{2}$ の項ができるように式を変形する

$= 2 {x^{2} + 2 \frac{5}{2 \cdot 2} x + {(\frac{5}{2 \cdot 2})}^{2}} - 2 {(\frac{5}{2 \cdot 2})}^{2} + 7$

$= 2 {(x + \frac{5}{2 \cdot 2})}^{2} - \frac{5^{2}}{4 \cdot 2} + 7$

$= 2 {(x + \frac{5}{4})}^{2} - \frac{5^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 7}{4 \cdot 2}$

計算して整理した結果

$= 2 {(x + \frac{5}{4})}^{2} + \frac{31}{8}$

■具体例5

2次の項の係数が1以外の場合の具体例その2 方法はその1と同様

$y = 5 x^{2} - 8 x + 12$

$= 5 (x^{2} - \frac{8}{5} x) + 12$

$= 5 (x^{2} - 2 \frac{8}{2 \cdot 5} x) + 12$

$= 5 {x^{2} - 2 \frac{8}{2 \cdot 5} x + {(\frac{8}{2 \cdot 5})}^{2} - {(\frac{8}{2 \cdot 5})}^{2}} + 12$

$= 5 {x^{2} - 2 \frac{8}{2 \cdot 5} x + {(\frac{8}{2 \cdot 5})}^{2}} - 5 {(\frac{8}{2 \cdot 5})}^{2} + 12$

$= 5 {(x - \frac{8}{2 \cdot 5})}^{2} - \frac{8^{2}}{4 \cdot 5} + 12$

$= 5 {(x - \frac{4}{5})}^{2} - \frac{8^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 12}{4 \cdot 5}$

$= 5 {(x - \frac{4}{5})}^{2} + \frac{44}{5}$

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最終更新日 2023年5月27日