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平方完成の具体例

■具体例1

${\displaystyle y=x^2+2x+3}$

${\displaystyle x^2}$ の係数1で${\displaystyle x^2}$ の項と${\displaystyle x}$の項をくくる．　

${\displaystyle =1\left(x^2+\frac{2}{1}x\right)+3}$

${\displaystyle {\left(x+○\right)}^2}$ の項を作るために${\displaystyle x}$の項を${\displaystyle 2·○·x}$ の形に変形する．

${\displaystyle =1\left(x^2+2\frac{2}{2·1}x\right)+3}$

${\displaystyle {(x+2·○·x+{○}^2-{○}^2)}^2}$ の形に変形する．

${\displaystyle {\left(x+○\right)}^2}$ の項を作るために，${\displaystyle -{○}^2}$ の項を外に出す．　

分けた2つの部分を整理する

${\displaystyle ={\left(x+\frac{2}{2·1}\right)}^2-\frac{2^2}{4·1}+3}$

${\displaystyle ={\left(x+1\right)}^2-\frac{2^2-4·1·3}{4·1}}$

${\displaystyle ={\left(x+1\right)}^2+2}$

■具体例2

1次の項の係数が偶数の場合

${\displaystyle y=x^2-6x+7}$

${\displaystyle x}$ の1次の項の係数${\displaystyle ○}$ を${\displaystyle 2·○}$ の形に変形し， ${\displaystyle {○}^2}$ の項を加えて，引く

${\displaystyle =x^2-2·3x+3^2-3^2+7}$

${\displaystyle {\left(x-○\right)}^2}$ の項をつくるために式を変形する

${\displaystyle =\left(x^2-2·3x+3^2\right)-3^2+7}$

計算して整理する

${\displaystyle ={\left(x-3\right)}^2-2}$

■具体例3

1次の項が奇数の場合

${\displaystyle y=x^2-3x+9}$

${\displaystyle x}$の1次の項の係数${\displaystyle ○}$ を${\displaystyle 2·\frac{○}{2}}$ の形に変形する

${\displaystyle =\left(x^2-2·\frac{3}{2}x\right)+9}$

${\displaystyle {\left(x-○\right)}^2}$の項を作るために の中で${\displaystyle {\left(\frac{○}{2}\right)}^2}$ の項を加えて引く

${\displaystyle {\left(x-○\right)}^2}$ の項をつくるために式を変形する

計算して整理する．

${\displaystyle ={\left(x-\frac{3}{2}\right)}^2+\frac{27}{4}}$

具体例4

2次の項の係数が1以外の場合の具体例その1

${\displaystyle y=2x^2+5x+7}$

${\displaystyle x}$ の2次の項の係数で${\displaystyle x}$ の2次の項と1次の項をくくる

${\displaystyle =2\left(x^2+\frac{5}{2}x\right)+7}$

${\displaystyle x}$の1次の項の係数${\displaystyle ○}$ を${\displaystyle 2·\frac{○}{2}}$ の形に変形する

${\displaystyle =2\left(x^2+2\frac{5}{2·2}x\right)+7}$

${\displaystyle {\left(x-○\right)}^2}$の項を作るために の中で${\displaystyle {\left(\frac{○}{2}\right)}^2}$ の項を加えて引く

${\displaystyle {\left(x-○\right)}^2}$ の項ができるように式を変形する

${\displaystyle =2{\left(x+\frac{5}{2·2}\right)}^2-\frac{5^2}{4·2}+7}$

${\displaystyle =2{\left(x+\frac{5}{4}\right)}^2-\frac{5^2-4·2·7}{4·2}}$

計算して整理した結果

${\displaystyle =2{\left(x+\frac{5}{4}\right)}^2+\frac{31}{8}}$

■具体例5

2次の項の係数が1以外の場合の具体例その2 方法はその1と同様

${\displaystyle y=5x^2-8x+12}$

${\displaystyle =5\left(x^2-\frac{8}{5}x\right)+12}$

${\displaystyle =5\left(x^2-2\frac{8}{2·5}x\right)+12}$

${\displaystyle =5{\left(x-\frac{8}{2·5}\right)}^2-\frac{8^2}{4·5}+12}$

${\displaystyle =5{\left(x-\frac{4}{5}\right)}^2-\frac{8^2-4·5·12}{4·5}}$

${\displaystyle =5{\left(x-\frac{4}{5}\right)}^2+\frac{44}{5}}$

　

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最終更新日 2023年5月27日

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