2次関数の最大と最小

2次関数 $y = a x^{2} + b x + c$ $y = a x^{2} + b x + c$ は頂点で最大値あるいは最小値をもつ．

まず， $y = a {(x - p)}^{2} + q$ $y = a {(x - p)}^{2} + q$ の形に式を変形し頂点を求める．

$y = a x^{2} + b x + c$ $y = a x^{2} + b x + c$ ⇒ $y = a {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a}$ $y = a {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a}$

頂点の座標は

$(p, q) = (- \frac{b}{2 a}, - \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a})$ $(p, q) = (- \frac{b}{2 a}, - \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a})$

a > 0

$a > 0$

頂点で最小となる．最大値はない．

$x = - \frac{b}{2 a}$ $x = - \frac{b}{2 a}$ で最小値は $- \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a}$ $- \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a}$

a < 0

$a < 0$

頂点で最大となる．最小値はない．

$x = - \frac{b}{2 a}$ $x = - \frac{b}{2 a}$ で最大値は $- \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a}$ $- \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a}$

$x$ $x$ の範囲に指定がある場合はここをみてください．

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最終更新日： 2024年5月17日