1 x のグラフ

1 x は,反比例の基本形として使われることが多い.

グラフは以下のようになる.

x=0 y=0 漸近線である.

■関連動画

■特徴

y= 1 x のグラフは, 2 , 2 2 , 2 焦点 x 軸と y 軸 が漸近線となる 双曲線である.

●確認方法1

関数 y= 1 x のグラフ上の点 P の座標を r,s とする。 s= 1 r より,点 P の座標は, r, 1 r と書き換えることができる.

2 , 2 を点 F 1 ,点 2 , 2 を点 F 2 とする.

双曲線の定義より

F 1 P F 2 P =一定 ・・・・・・(1)

であれば,関数 y= 1 x のグラフは双曲線である.

F 1 P F 2 P = r 2 2 + 1 r 2 2 r+ 2 2 + 1 r + 2 2

= r 2 2 2 r+2+ 1 r 2 2 2 r +2 r 2 +2 2 r+2+ 1 r 2 + 2 2 r +2

= r 2 +2+ 1 r 2 2 2 r+ 1 r +2 r 2 +2+ 1 r 2 +2 2 r+ 1 r +2

= r+ 1 r 2 2 2 r+ 1 r +2 r+ 1 r 2 +2 2 r+ 1 r +2

== r+ 1 r 2 2 r+ 1 r + 2 2

= r+ 1 r 2 r+ 1 r + 2

= 2 2

=2 2  ・・・・・・(2)

よって,(1)を満たしており, y= 1 x のグラフは双曲線である.

●確認方法2

関数 y= 1 x のグラフ上の点 P の座標を r,s とする。関数 y= 1 x のグラフを原点を中心に,時計回りに45°回転させたグラフを青線で示す.点 P が回転により移った先を点 Q とし,その座標を x,y とする.

x,y r,s の関係を回転行列を使って表すと

x y = cos 45° sin 45° sin 45° cos 45° r s

r s = cos45° sin45° sin45° cos45° x y

= 2 2 2 2 2 2 2 2 x y

= 2 2 x 2 2 y 2 2 x+ 2 2 y

よって

r= 2 2 x 2 2 y  ・・・・・・(3)

s= 2 2 x+ 2 2 y  ・・・・・・(4)

となる.

P が関数 y= 1 x のグラフ上の点より

s= 1 r  ・・・・・・(5)

の関係がある.(5)に(4),(3)を代入すし,整理する.

2 2 x+ 2 2 y= 1 2 2 x 2 2 y

2 2 x+ 2 2 y 2 2 x 2 2 y =1

2 2 x 2 2 2 y 2 =1

x 2 2 2 y 2 2 2 =1  ・・・・・・(6)

の関係がえられる.この方程式は,双曲線の方程式になっていおり,青線は双曲線であることが分かる.したがって,回転移動させる前のグラフも双曲線になる.

 

ホーム>>カテゴリー分類>>関数>> 1 x のグラフ

学生スタッフ作成
最終更新日: 2024年5月22日

[ページトップ]

金沢工業大学

利用規約

google translate (English version)