パラメータ表示された曲線の曲率半径 (radius of curvature of a parametrized curve)

${\displaystyle xy}$ 平面で定義された曲線が ${\displaystyle t}$ をパラメータとして ${\displaystyle x=x(t)}$ , ${\displaystyle y=y(t)}$ で表されている場合，曲率半径

${\displaystyle R=\left|\frac{ds}{d\alpha }\right|}$

において

${\displaystyle \tan \alpha =\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}}$

より

${\displaystyle (\tan \alpha {)}^{\prime }d\alpha ={\left(\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}\right)}^{\prime }dt}$     ⇒     ${\displaystyle \frac{d\alpha }{{\cos }^2\alpha }=\frac{\frac{dx}{dt}\frac{d^{2}y}{d{t}^2}-\frac{dy}{dt}\frac{d^{2}x}{d{t}^2}}{{\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2}dt}$     ⇒     ${\displaystyle d\alpha =\frac{1}{1+{\tan }^2\alpha }\frac{\frac{dx}{dt}\frac{d^{2}y}{d{t}^2}-\frac{dy}{dt}\frac{d^{2}x}{d{t}^2}}{{\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2}dt}$

となり，最終的に

${\displaystyle d\alpha =\frac{\frac{dx}{dt}\frac{d^{2}y}{d{t}^2}-\frac{dy}{dt}\frac{d^{2}x}{d{t}^2}}{{\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2+{\left(\frac{dy}{dt}\right)}^2}dt}$

を得る．また

${\displaystyle ds=\sqrt{{(dx)}^2+{(dy)}^2}}$ ${\displaystyle =\sqrt{{\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2+{\left(\frac{dy}{dt}\right)}^2}dt}$

であるので，曲率半径 ${\displaystyle R}$ は ${\displaystyle t}$ の関数として

と求まる．

また，曲線上の点 P ${\displaystyle (x(t),y(t))}$ 付近を近似する円の中心 C の座標 ${\displaystyle (c_x,c_y)}$ は

${\displaystyle (c_x,c_y)=(x(t),y(t))+\left(-\frac{dy}{d\alpha },\frac{dx}{d\alpha }\right)}$ ${\displaystyle =(x(t),y(t))}$${\displaystyle +\frac{{\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2+{\left(\frac{dy}{dt}\right)}^2}{\frac{dx}{dt}\frac{d^{2}y}{d{t}^2}-\frac{dy}{dt}\frac{d^{2}x}{d{t}^2}}\left(-\frac{dy}{dt},\frac{dx}{dt}\right)}$

となる．

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最終更新日：2023年9月30日

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