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xy 平面で定義された曲線が t をパラメータとして x=x(t) , y=y(t) で表されている場合,曲率半径
R=|dsdα|
において
tanα=dydx=dydtdxdt
より
(tanα)′dα=(dydtdxdt)′dt ⇒ dαcos2α=dxdtd2ydt2−dydtd2xdt2(dxdt)2dt ⇒ dα=11+tan2αdxdtd2ydt2−dydtd2xdt2(dxdt)2dt
となり,最終的に
dα=dxdtd2ydt2−dydtd2xdt2(dxdt)2+(dydt)2dt
を得る.また
ds=√(dx)2+(dy)2 =√(dxdt)2+(dydt)2dt
であるので,曲率半径 R は t の関数として
と求まる.
また,曲線上の点 P (x(t),y(t)) 付近を近似する円の中心 C の座標 (cx,cy) は
(cx , cy)=(x(t) , y(t))+(−dydα , dxdα) =(x(t) , y(t))+(dxdt)2+(dydt)2dxdtd2ydt2−dydtd2xdt2(−dydt , dxdt)
となる.
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最終更新日:2023年9月30日