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パラメータ表示された曲線の曲率半径 (radius of curvature of a parametrized curve)

xy 平面で定義された曲線が t をパラメータとして x=x(t) , y=y(t) で表されている場合,曲率半径

R=|dsdα|

において

tanα=dydx=dydtdxdt

より

(tanα)dα=(dydtdxdt)dt     ⇒     dαcos2α=dxdtd2ydt2dydtd2xdt2(dxdt)2dt     ⇒     dα=11+tan2αdxdtd2ydt2dydtd2xdt2(dxdt)2dt

となり,最終的に

dα=dxdtd2ydt2dydtd2xdt2(dxdt)2+(dydt)2dt

を得る.また

ds=(dx)2+(dy)2 =(dxdt)2+(dydt)2dt

であるので,曲率半径 Rt の関数として

R(t)=|dsdα| =|(dxdt)2+(dydt)2(dxdt)2+(dydt)2dxdtd2ydt2dydtd2xdt2| ={(dxdt)2+(dydt)2}32|dxdtd2ydt2dydtd2xdt2|

と求まる.

また,曲線上の点 P (x(t),y(t)) 付近を近似する円の中心 C の座標 (cx,cy)

(cx,cy)=(x(t),y(t))+(dydα,dxdα) =(x(t),y(t))+(dxdt)2+(dydt)2dxdtd2ydt2dydtd2xdt2(dydt,dxdt)

となる.


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最終更新日:2023年9月30日

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