パラメータ表示された曲線の曲率半径 (radius of curvature of a parametrized curve)

$x y$ 平面で定義された曲線が $t$ をパラメータとして $x = x (t)$ , $y = y (t)$ で表されている場合，曲率半径

$R = | \frac{d s}{d α} |$

において

$\tan α = \frac{d y}{d x} = \frac{\frac{d y}{d t}}{\frac{d x}{d t}}$

より

$(\tan α)^{'} d α = {(\frac{\frac{d y}{d t}}{\frac{d x}{d t}})}^{'} d t$ ⇒ $\frac{d α}{\cos^{2} α} = \frac{\frac{d x}{d t} \frac{d^{2} y}{d t^{2}} - \frac{d y}{d t} \frac{d^{2} x}{d t^{2}}}{{(\frac{d x}{d t})}^{2}} d t$ ⇒ $d α = \frac{1}{1 + \tan^{2} α} \frac{\frac{d x}{d t} \frac{d^{2} y}{d t^{2}} - \frac{d y}{d t} \frac{d^{2} x}{d t^{2}}}{{(\frac{d x}{d t})}^{2}} d t$

となり，最終的に

$d α = \frac{\frac{d x}{d t} \frac{d^{2} y}{d t^{2}} - \frac{d y}{d t} \frac{d^{2} x}{d t^{2}}}{{(\frac{d x}{d t})}^{2} + {(\frac{d y}{d t})}^{2}} d t$

を得る．また

$d s = \sqrt{{(d x)}^{2} + {(d y)}^{2}}$ $= \sqrt{{(\frac{d x}{d t})}^{2} + {(\frac{d y}{d t})}^{2}} d t$

であるので，曲率半径 $R$ は $t$ の関数として

$R (t) = | \frac{d s}{d α} |$ $= | \sqrt{{(\frac{d x}{d t})}^{2} + {(\frac{d y}{d t})}^{2}} \cdot \frac{{(\frac{d x}{d t})}^{2} + {(\frac{d y}{d t})}^{2}}{\frac{d x}{d t} \frac{d^{2} y}{d t^{2}} - \frac{d y}{d t} \frac{d^{2} x}{d t^{2}}} |$ $= \frac{{{(\frac{d x}{d t})}^{2} + {(\frac{d y}{d t})}^{2}}^{\frac{3}{2}}}{| \frac{d x}{d t} \frac{d^{2} y}{d t^{2}} - \frac{d y}{d t} \frac{d^{2} x}{d t^{2}} |}$

と求まる．

また，曲線上の点 P $(x (t), y (t))$ 付近を近似する円の中心 C の座標 $(c_{x}, c_{y})$ は

$(c_{x}, c_{y}) = (x (t), y (t)) + (- \frac{d y}{d α}, \frac{d x}{d α})$ $= (x (t), y (t))$ $+ \frac{{(\frac{d x}{d t})}^{2} + {(\frac{d y}{d t})}^{2}}{\frac{d x}{d t} \frac{d^{2} y}{d t^{2}} - \frac{d y}{d t} \frac{d^{2} x}{d t^{2}}} (- \frac{d y}{d t}, \frac{d x}{d t})$

となる．

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最終更新日：2023年9月30日