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内分点

三角形のある頂点の内角の二等分線とその頂点の対辺との交点を，その対辺の内分点という．

具体例を上げて説明する．三角形 $\text{ABC}$ の頂点 $\text{A}$ の内角の二等分線と辺 $\text{BC}$ との交点を $\text{N}$ とする．この交点 $\text{M}$ が辺 $\text{BC}$ の内分点である。そして

$\text{AB}:\text{AC}=\text{BM}:\text{CM}$

の関係がある．

【参考】

• 線分をｍ：ｎに内分する点の位置ベクトル
• 線分の内分点(複素平面)

■証明1

三角形 $\text{ABM}$ の面積を $S_1$ ，三角形 $\text{ACM}$ の面積を $S_2$ する．

${\displaystyle S_1=\frac{1}{2}\left(\text{AB}\times \text{DM}\right)}$

${\displaystyle S_2=\frac{1}{2}\left(\text{AC}\times \text{EM}\right)}$

${\displaystyle \text{DM}=\text{EM}}$   ${\displaystyle (\because △\text{ADM}\equiv △\text{AEM})}$

$\therefore S_1:S_2=\text{AB}:\text{AC}$  ･･････(1)

一方

${\displaystyle S_1=\frac{1}{2}\left(\text{BM}\times \text{AF}\right)}$

${\displaystyle S_2=\frac{1}{2}\left(\text{CM}\times \text{AF}\right)}$

$\therefore S_1:S_2=\text{BM}:\text{CM}$  ･･････(2)

(1)，(2)より

$\text{AB}:\text{AC}=\text{BM}:\text{CM}$

備考：ここも参照のこと

■証明2

線分 $\text{AM}$ と平行で点 $\text{C}$ を通る直線と辺 $\text{AB}$ との交点を点 $\text{D}$ とする．点 $\text{A}$ を通り辺 $\text{BC}$ に平行な直線と線分 $\text{DC}$ との交点を点 $\text{E}$ とする．

頂点 $\text{A}$ の内角の二等分線が線分 $\text{AM}$ より

$\angle \text{MAB}=\angle \text{MAC}$ ･･････(1)

$\text{AM}$ // $\text{DC}$ ，かつ， $\angle \text{ADC}$ と $\angle \text{BAM}$ が同位角の関係より

${\displaystyle \angle \text{ADC}=\angle \text{BAM}}$ ･･････(2)

$\text{AM}$ // $\text{DC}$ ，かつ， $\angle \text{ACD}$ と $\angle \text{CAM}$ が錯角の関係より

${\displaystyle \angle \text{ACD}=\angle \text{CAM}}$ ･･････(3)

となる．(1)，(2)，(3)より

${\displaystyle \angle \text{ADC}=\angle \text{ACD}}$ ･･････(4)

(4)より $△\text{ADC}$ は二等辺三角形である．よって

${\displaystyle \text{AD}=\text{AC}}$ ･･････(5)

$\text{AM}$ // $\text{EC}$ ， $\text{AE}$ // $\text{MC}$ より四角形 $\text{AMCE}$ は平行四辺形である．よって

${\displaystyle \text{EA}=\text{CM}}$ ･･････(6)

である．

$△\text{ABM}$ と $△\text{DAE}$ に関して

$\text{BM}$ // $\text{AE}$ ，かつ， $\angle \text{ABM}$ と $\angle \text{DAE}$ が同位角より

$\angle \text{ABM}=\angle \text{DAE}$ ･･････(7)

である．

(2)，(7)より，二つの角が等しい．よって

$△\text{ABM}$ ∽ $△\text{DAE}$

である．したがって

$\text{AB}:\text{DA}=\text{BM}:\text{AE}$ ･･････(8)

である．

(8)に(5)，(6)を代入すると

$\text{AB}:\text{AC}=\text{BM}:\text{CM}$

が得られる．

 

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最終更新日 ： 2025年11月25日

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