相似条件

■相似な平面図形の面積比

相似な三角形で，対応する部分の長さが${\displaystyle k}$ 倍なら，面積は${\displaystyle k^2}$倍である．

証明

${\displaystyle △\text{ABC}}$ と ${\displaystyle △{\text{A}}^{\prime }{\text{B}}^{\prime }{\text{C}}^{\prime }}$ が相似 で，${\displaystyle △\text{ABC}}$ と${\displaystyle △{\text{A}}^{\prime }{\text{B}}^{\prime }{\text{C}}^{\prime }}$の相似比が${\displaystyle 1:k}$のとき，${\displaystyle △\text{ABC}}$ の面積を${\displaystyle S}$ ，${\displaystyle △{\text{A}}^{\prime }{\text{B}}^{\prime }{\text{C}}^{\prime }}$の面積を${\displaystyle S\text{'}}$ とおく．

三角形の面積の公式より

${\displaystyle S=\frac{1}{2}ab\sin C}$　･･････(1)

${\displaystyle {S^{\prime }}^{}=\frac{1}{2}ka\cdot kb\cdot \sin C^{\prime }}$　･･････(2)

(2)を計算すると

${\displaystyle S^{\prime }=k^2\cdot \frac{1}{2}ab\sin C}$

となり，これに(1)を代入すると

${\displaystyle S^{\prime }=k^{2}S}$

となる．よって

${\displaystyle S:S^{\prime }=1:k^2}$

となる．

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最終更新日： 2023年10月3日

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