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中線定理

三角形$\text{ABC}$の辺$\text{BC}$の中点を$\text{M}$とすると

${\text{AB}}^{\text{2}}+{\text{AC}}^{\text{2}}=2\left({\text{AM}}^{\text{2}}+{\text{BM}}^{\text{2}}\right)$

である．

【備考】頂点と対辺の中点を結ぶ線分のことを中線という．

■証明

三平方の定理より

${\displaystyle {\text{AB}}^{\text{2}}+{\text{AC}}^{\text{2}}}$

${\displaystyle =\left({\text{BH}}^{\text{2}}+{\text{AH}}^{\text{2}}\right)+\left({\text{CH}}^{\text{2}}+{\text{AH}}^{\text{2}}\right)}$

${\displaystyle ={\text{BH}}^2+{\text{CH}}^2+2{\text{AH}}^{\text{2}}}$

一方

${\displaystyle {\text{BH}}^{\text{2}}+{\text{CH}}^{\text{2}}}$

${\displaystyle ={\left(\text{BM}+\text{MH}\right)}^2+{\left(\text{CM}-\text{MH}\right)}^2}$

${\displaystyle ={\text{BM}}^2+2\text{BM}\cdot \text{MH}+{\text{MH}}^2}$${\displaystyle +{\text{CM}}^2-2\text{CM}\cdot \text{MH}+{\text{MH}}^2}$

${\displaystyle =2{\text{BM}}^{\text{2}}+2{\text{MH}}^{\text{2}}}$

${\displaystyle \left(\because \text{BM}=\text{CM}\right)}$

したがって

${\displaystyle {\text{AB}}^{\text{2}}+{\text{AC}}^{\text{2}}}$${\displaystyle =2{\text{BM}}^2+2{\text{MH}}^2+2{\text{AH}}^2}$

${\displaystyle =2{\text{BM}}^{\text{2}}+2\left({\text{MH}}^{\text{2}}+{\text{AH}}^2\right)}$

${\displaystyle =2{\text{BM}}^{\text{2}}+2{\text{AM}}^{\text{2}}}$

（∵三平方の定理より， ${\displaystyle {\text{MH}}^{\text{2}}+{\text{AH}}^2={\text{AM}}^2}$）

●ベクトルを使った証明 ⇒ ここ

 

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最終更新日： 2024年12月3日

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