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相似条件

■相似な立体の表面積比

相似な立体で，対応する部分の長さが ${\displaystyle k}$ 倍なら，表面積は ${\displaystyle k^2}$ 倍である．

証明

一例として，円柱の場合について証明する．

下図において，円柱 ${\displaystyle \text{Q}}$ ， ${\text{Q}}^{\prime }$ は相似である．

${\displaystyle \text{Q}}$ と ${\text{Q}}^{\prime }$ の相似比が ${\displaystyle 1:k}$ のとき， ${\displaystyle \text{Q}}$ の表面積を ${\displaystyle S}$ ， ${\text{Q}}^{\prime }$ の表面積を $S^{\prime }$ とおく．

　　　　　

${\displaystyle S=2\pi rh+2\pi r^2}$ ･･････(1)

${\displaystyle S^{\prime }=2\pi kr\cdot kh+2\pi {\left(kr\right)}^2}$ ${\displaystyle =k^2\left(2\pi rh+2\pi r^2\right)}$ ･･････(2)  

(1)，(2)より

${\displaystyle S:S^{\prime }=1:k^2}$

が成り立つ．

 

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最終更新日2025年3月5日

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