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三角錐の体積

三角錐の体積=底面積×高さ× 1 3

■証明

三角柱を3つの三角錐に分解することで証明する.

(T)三角錐 E-AFC と三角錐 E-AFD について

三角柱ABC-DEF の側面□ACFD は平行四辺形である.

よって

AD=CF  ・・・・・・(1)

AC =DF  ・・・・・・(2)

となる.

次に, AFC AFD について考える.

(1),(2)と AF が共通であることより

AFCAFD   (   三角形の合同条件) 

が成り立ち

AFC の面積= AFD の面積 ・・・・・(3)

となる.

ACFD を底面とする四角錐 E-AFCD EAF で三角錐E-AFCと三角錐E-AFD に2分割される.(3)より底面が面積の等しい三角形に分割されているので

三角錐 E-AFC の体積=三角錐 E=AFD の体積 ・・・・・・(4)

が成り立つ.

(U)三角錐 A-CBE と三角錐 A-ECF について

 

三角柱 ABC-DEF の側面□ BCFE は平行四辺形である.

よって

BC = FE   ・・・・・・(5)

BE = FC   ・・・・・・(6)

となる.

次に, CEB ECF について考える.

(5),(6)と CE が共通であることより

CEB ECF   (   三角形の合同条件) 

が成り立ち

CEB の面積= ECF の面積 ・・・・・(7)

となる.

BCFE を底面とする四角錐 A-BAFE ACE で三角錐 A-CBE と三角錐 A-ECF に2分割される.(6)より底面が面積の等しい三角形に分割されているので

三角錐 A-CBE の体積=三角錐 A-ECF の体積 ・・・・・・(8)

が成り立つ.

(4),(8)より

三角錐 E-AFD の体積=三角錐 E-AFC の体積(三角錐 A-ECF の体積)=三角錐 A-CBE の体積 ・・・・・・(9)

となり3つの三角錐の体積は等しい.

よって,

DEF を底面とする三角錐 A-DEF (三角錐 E-AFD )の体積= 1 3 ×三角錐 A-CBE の体積 ・・・・・・(10)

となる.

また

DEF を底面とする三角錐 A-DEF (三角錐 E-AFD )の高さは,三角柱 ABC-DEF の高さと等しい ・・・・・・(11)

(10),(11)より三角錐の体積は,

三角錐の体積=底面積×高さ× 1 3

となる.

 

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最終更新日: 2013年10月8日

 

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