垂線の長さ（点と平面の距離）

点${\displaystyle \left(x_0,y_0,z_0\right)}$ から平面 ${\displaystyle ax+by+cz+d=0}$ への垂線の長さ（言い換えると 点 ${\displaystyle \left(x_0,y_0,z_0\right)}$と直線 ${\displaystyle ax+by+cz+d=0}$ との距離は）は

${\displaystyle \frac{\left|a{x}_0+b{y}_0+c{z}_0+d\right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}}$

となる．

■導出計算

点${\displaystyle \left(x_0,y_0,z_0\right)}$ を${\displaystyle \text{P}}$ 点とする．この${\displaystyle \text{P}}$ 点から平面 ${\displaystyle ax+by+cz+d=0}$へ下ろした垂線の足(垂線と平面の交点)を点${\displaystyle \text{Q}}$ とし，その座標を${\displaystyle \left(x_1,y_1,z_1\right)}$ をとする．垂線の長さ${\displaystyle \text{PQ}}$ は，2点間の距離となり

${\displaystyle \text{PQ}=\left|\overrightarrow{\text{PQ}}\right|}$${\displaystyle =\sqrt{{\left(x_1-x_0\right)}^{\text{2}}{+\left(y_1-y_0\right)}^{\text{2}}\text{+}{\left(z_1-z_0\right)}^{\text{2}}}}$    ${\displaystyle \left(\because \overrightarrow{\text{PQ}}=\left(x_1-x_0,y_1-y_0,z_1-z_0\right)\right)}$ ･･････(1)

次に，${\displaystyle \overrightarrow{n}=\left(a,b,c\right)}$ とおくと

${\displaystyle \overrightarrow{\text{PQ}}=k\overrightarrow{n}}$   (k は実数)  ･･････(2)

と表すことができる．よって

${\displaystyle x_1-x_0=ka}$ ，   ${\displaystyle x_1=x_0+ka}$

${\displaystyle y_1-y_0=kb}$ ，   ${\displaystyle y_1=y_0+kb}$

${\displaystyle z_1-z_0=kc}$ ，   ${\displaystyle z_1=z_0+kc}$

となり，点${\displaystyle \text{Q}}$ の座標${\displaystyle \left(x_1,y_1,z_1\right)}$ は

${\displaystyle \left(x_1,y_1,z_1\right)=\left(x_0+ka,y_0+kb,z_0+kc\right)}$  

と表わすことができる．点${\displaystyle \text{Q}}$ は平面${\displaystyle ax+by+cz+d=0}$上の点であることより

が成り立つ．(3)をk について解くと

${\displaystyle k=-\frac{a{x}_0+b{y}_0+c{y}_0+d}{a^2+b^2+c^2}}$   ･････(4)

なる．(2)と(4)より垂線の長さ ${\displaystyle \left|\overrightarrow{\text{PQ}}\right|}$ は

${\displaystyle =\left|k\right|\left|\overrightarrow{n}\right|}$  

${\displaystyle =\left|-\frac{a{x}_0+b{y}_0+c{y}_0+d}{a^2+b^2+c^2}\right|\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$  

${\displaystyle =\frac{\left|a{x}_0+b{y}_0+c{y}_0+d\right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}}$  

となる．

 

 

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最終更新日： 2023年2月22日