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応用分野: 対数関数アークコサイン

直線  y=x に関して対称な点

2点P ( x 1 , y 1 ) ,Q ( x 2 , y 2 )  が直線 y=x  に関して対称であることは,

{ x 2 = y 1 y 2 = x 1

が成り立つことと同値である.

すなわち,点P ( x 1 , y 1 )  の 直線 y=x  に関して対称な点Qの座標は ( y 1 , x 1 )  となり x 成分と y 成分が入れ替わっている.

■証明

点P ( x 1 , y 1 )  の x  成分と y  成分入れ替えた点をQ ( y 1 , x 1 )  とする.

直線PQの傾きを m 1  とすると,

m 1 = y 1 x 1 x 1 y 1 =1  

直線 y=x  の傾き m 2  は1であるから,

m 1 m 2 =1  

となり,

直線PQは直線 y=x  に垂直 ・・・・・・(1)

である.点P,Qの中点をC ( x c , y c )  とすると,

x c = x 1 + y 1 2 y c = y 1 + x 1 2  

となり,

x c = y c  ・・・・・・(2)

である.

よって,(1),(2)より定直線に関して対称な点であるための条件を満たしているので点P ( x 1 , y 1 )  ,Q ( y 1 , x 1 ) は直線 y=x  に関して対称である.

 

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最終更新日 2016年3月3日

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