補数の定義

■補数とは

コンピュータ内での四則演算は，全て加算処理で計算される．

補数を使えば減算を加算で行うことができる．

補数とは， $n$ 進数の数に加算すると1桁上がる数の最小値，もしくは桁上がりしない最大値となる数のことである．

$n$ 進数では前者を $n$ の補数，後者を $n - 1$ の補数という．

例えば，2進数8桁10011010についての補数は

1の補数 ${(01100101)}_{2}$

2の補数 ${(01100110)}_{2}$

である．

1の補数は，2進法である数 $n$ に加算すると桁上がりしない最大値となる数のことである．

$n$ + ( $n$ の1の補数 ) ${= (111 \cdot \cdot \cdot \cdot 1)}_{2}$ ← ( $n$ の桁数 ) 桁

( $n$ の1の補数 ) ${= (111 \cdot \cdot \cdot \cdot 1)}_{2} - n$

式より，全て1である $n$ と同じ桁数の数から $n$ を引くと( $n$ の1の補数)が求まる．

また実際に上記の計算をすると，( n の1の補数)は $n$ の1と0を反転したものであることがわかる．

2の補数は，2進法である数 $n$ に加算すると $n$ の桁数 $+ 1$ の桁で，最小値となる数のことである．

$n$ + ( $n$ の2の補数 ) ${= (100 \cdot \cdot \cdot \cdot 0)}_{2}$ ← ( $n$ の桁数 + 1 ) 桁

( $n$ の2の補数 ) ${= (100 \cdot \cdot \cdot \cdot 0)}_{2} - n$

( $n$ の2の補数 ) ${= (111 \cdot \cdot \cdot \cdot 1)}_{2} - n + {(1)}_{2}$

式より， $n$ の桁数 $+ 1$ の桁の最小値 $100 \cdot \cdot \cdot \cdot 0$ から $n$ を引くと( $n$ の2の補数 )が求まる．

また2の補数は $n$ の1と0を反転して1を加算したもの，つまり $n$ の1である最小桁以下を反転せず，それ以上の桁を反転したものである．

最終更新日： 2023年10月7日