分子の有理化

分子の無理数である場合に分子を有理数にするための計算操作を分子の有理化という．

■ $\frac{\sqrt{a}}{b}$ $\frac{\sqrt{a}}{b}$ ( $a > 0, b > 0$ $a > 0, b > 0$ ) の場合

分母，分子に $\sqrt{a}$ $\sqrt{a}$ をかけて有理化する．

$\frac{\sqrt{a}}{b} = \frac{\sqrt{a} \times \sqrt{a}}{b \times \sqrt{a}} = \frac{a}{b \sqrt{a}}$ $\frac{\sqrt{a}}{b} = \frac{\sqrt{a} \times \sqrt{a}}{b \times \sqrt{a}} = \frac{a}{b \sqrt{a}}$

例）

\frac{\sqrt{2}}{3} = \frac{\sqrt{2} \times \sqrt{2}}{3 \times \sqrt{2}} = \frac{2}{3 \sqrt{2}}

$\frac{\sqrt{2}}{3} = \frac{\sqrt{2} \times \sqrt{2}}{3 \times \sqrt{2}} = \frac{2}{3 \sqrt{2}}$

■ $\frac{\sqrt{a} \pm \sqrt{b}}{\sqrt{c}}$ $\frac{\sqrt{a} \pm \sqrt{b}}{\sqrt{c}}$ ( $a > 0, b > 0, c > 0$ $a > 0, b > 0, c > 0$ ) の場合

分母，分子に $\sqrt{a} \mp \sqrt{b}$ $\sqrt{a} \mp \sqrt{b}$ をかけて有理化する．乗法の公式 $(x + y) (x - y) = x^{2} - y^{2}$ $(x + y) (x - y) = x^{2} - y^{2}$ を利用する．

$\frac{\sqrt{a} \pm \sqrt{b}}{\sqrt{c}}$ $\frac{\sqrt{a} \pm \sqrt{b}}{\sqrt{c}}$ $= \frac{(\sqrt{a} \pm \sqrt{b}) (\sqrt{a} \mp \sqrt{b})}{\sqrt{c} (\sqrt{a} \mp \sqrt{b})}$ $= \frac{(\sqrt{a} \pm \sqrt{b}) (\sqrt{a} \mp \sqrt{b})}{\sqrt{c} (\sqrt{a} \mp \sqrt{b})}$ $= \frac{a - b}{\sqrt{c} (\sqrt{a} \mp \sqrt{b})}$ $= \frac{a - b}{\sqrt{c} (\sqrt{a} \mp \sqrt{b})}$

例）

\frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{2}}

$\frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

= \frac{(\sqrt{3} - \sqrt{2}) (\sqrt{3} + \sqrt{2})}{\sqrt{2} (\sqrt{3} + \sqrt{2})}

$= \frac{(\sqrt{3} - \sqrt{2}) (\sqrt{3} + \sqrt{2})}{\sqrt{2} (\sqrt{3} + \sqrt{2})}$

= \frac{3 - 2}{\sqrt{2} (\sqrt{3} + \sqrt{2})}

$= \frac{3 - 2}{\sqrt{2} (\sqrt{3} + \sqrt{2})}$

= \frac{1}{\sqrt{6} + 2}

$= \frac{1}{\sqrt{6} + 2}$

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最終更新日 2023年10月5日