分子の有理化

分子の無理数である場合に分子を有理数にするための計算操作を分子の有理化という．

■ $\frac{\sqrt{a}}{b}$ ( $a > 0, b > 0$ ) の場合

分母，分子に $\sqrt{a}$ をかけて有理化する．

$\frac{\sqrt{a}}{b} = \frac{\sqrt{a} \times \sqrt{a}}{b \times \sqrt{a}} = \frac{a}{b \sqrt{a}}$

例）

\frac{\sqrt{2}}{3} = \frac{\sqrt{2} \times \sqrt{2}}{3 \times \sqrt{2}} = \frac{2}{3 \sqrt{2}}

■ $\frac{\sqrt{a} \pm \sqrt{b}}{\sqrt{c}}$ ( $a > 0, b > 0, c > 0$ ) の場合

分母，分子に $\sqrt{a} \mp \sqrt{b}$ をかけて有理化する．乗法の公式 $(x + y) (x - y) = x^{2} - y^{2}$ を利用する．

$\frac{\sqrt{a} \pm \sqrt{b}}{\sqrt{c}}$ $= \frac{(\sqrt{a} \pm \sqrt{b}) (\sqrt{a} \mp \sqrt{b})}{\sqrt{c} (\sqrt{a} \mp \sqrt{b})}$ $= \frac{a - b}{\sqrt{c} (\sqrt{a} \mp \sqrt{b})}$

例）

\frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{2}}

= \frac{(\sqrt{3} - \sqrt{2}) (\sqrt{3} + \sqrt{2})}{\sqrt{2} (\sqrt{3} + \sqrt{2})}

= \frac{3 - 2}{\sqrt{2} (\sqrt{3} + \sqrt{2})}

= \frac{1}{\sqrt{6} + 2}

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最終更新日 2023年10月5日

分子の有理化

■ a b ( a>0 ,b >0 ) の場合

■ a ± b c ( a>0 ,b >0 ,c >0 ) の場合

■ $\frac{\sqrt{a}}{b}$ ( $a > 0, b > 0$ ) の場合

■ $\frac{\sqrt{a} \pm \sqrt{b}}{\sqrt{c}}$ ( $a > 0, b > 0, c > 0$ ) の場合