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分母の有理化

分母の無理数である場合に分母を有理数にするための計算操作を分母の有理化という．分母を有理化する目的は，計算がより簡単になる場合が多いからである．

■${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a}}}$，${\displaystyle \left(a>0\right)}$  の場合

分母，分子に${\displaystyle \sqrt{a}}$  をかけて有理化する．

${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a}}=\frac{1\times \sqrt{a}}{\sqrt{a}\times \sqrt{a}}=\frac{\sqrt{a}}{a}}$

■${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a}\pm \sqrt{b}}\left(a>0,b>0\right)}$ の場合

分母，分子に${\displaystyle \sqrt{a}\mp \sqrt{b}}$  をかけて有理化する．乗法の公式 ${\displaystyle \left(x+y\right)\left(x-y\right)=x^2-y^2}$ を利用する．

${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a}\pm \sqrt{b}}}$${\displaystyle =\frac{1\times \left(\sqrt{a}\mp \sqrt{b}\right)}{\left(\sqrt{a}\pm \sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}\mp \sqrt{b}\right)}}$${\displaystyle =\frac{\sqrt{a}\mp \sqrt{b}}{a-b}}$

${\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}}$${\displaystyle =\frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)}{\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)}}$${\displaystyle =\frac{\sqrt{6}+2}{3-2}}$${\displaystyle =\frac{\sqrt{6}+2}{1}}$${\displaystyle =\sqrt{6}+2}$

 

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最終更新日 2019年3月14日

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