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最小二乗法

ある物理量 y がある物理量 x の関数で

y=ax+b

と表されるとする.例えば x の値を決めて y の値を測定する作業を n 回繰り返し,表のように n 個の x y の対が得られたとする.

測定回数 1 2 3 …… n1 n
x の値 x 1 x 2 x 3 …… x n1 x n
y の値 y 1 y 2 y 3 …… y n1 y n

この x y の対を xy 座標上にプロットすると

となり,実験条件のバラツキや測定誤差などの要因で,プロットした点は直線上に乗らない.(本来なら y=ax+b の関係があるので,すべての点は直線上に乗るはずである.)

プロットした点と y=ax+b との y 軸方向の値の差 Δ i

Δ i = y i ( a x i +b )

となる. a b の値によって Δ i の値は変化する.すべての点で Δ i の値を小さくする a b の値が, x y の関係を表す最も確からしい値だと考えることができる. a b の値を決める方法として

Δ 2 = i=1 n Δ i 2 = i=1 n { y i ( a x i +b ) } 2

の値を最小とする a b を用いる方法がある.この方法のことを最小二乗法という.

Δ 2 の最小となる a b の値を平方完成を利用して求める.

Δ 2 = i=1 n { y i ( a x i +b ) } 2

= i=1 n { y i 2 2( a x i +b ) y i + ( a x i +b ) 2 }

= i=1 n { y i 2 2a x i y i 2b y i + a 2 x i 2 +2ab x i + b 2 }

= i = 1 n y i 2 + i = 1 n ( 2 a x i y i ) + i = 1 n ( 2 b y i ) + i = 1 n a 2 x i 2 + i = 1 n 2 a b x i + i = 1 n b 2

= i = 1 n y i 2 2 a i = 1 n x i y i 2 b i = 1 n y i + a 2 i = 1 n x i 2 + 2 a b i = 1 n x i + n b 2

i=1 n y i 2 =A i=1 n x i y i =B i=1 n y i =C i=1 n x i 2 =D i=1 n x i =E とおくと

=A2aB2bC+ a 2 D+2abE+n b 2

=n b 2 +2( EaC )b+D a 2 2Ba+A

= n ( b + E a C n ) 2 1 n ( E a C ) 2 + D a 2 2 B a + A

=n b+ EaC n 2 + 1 n E 2 a 2 +2CEa C 2 +nD a 2 2nBa+nA

= n ( b + E a C n ) 2 + 1 n nD E 2 a 2 +2 CEnB a+nA C 2

= n ( b + E a C n ) 2 + 1 n ( n D E 2 ) ( a + C E n B n D E 2 ) 2 1 n CEnB 2 nD E 2 +A 1 n C 2

a = CEnB nD E 2

= nBCE nD E 2

= 1 n 2 n i=1 n x i y i i=1 n x i i=1 n y i 1 n 2 n i=1 n x i 2 i=1 n x i 2

= 1 n i=1 n x i y i 1 n i=1 n x i 1 n i=1 n y i 1 n i=1 n x i 2 1 n i=1 n x i 2

S xy = 1 n i=1 n x i y i 1 n i=1 n x i 1 n i=1 n y i s x 2 = 1 n i=1 n x i 2 1 n i=1 n x i 2 とおくと

= S xy S x 2

b = EaC n

= CEa n

= 1 n ( CE nBCE nD E 2 )

= 1 n nCDC E 2 nBE+C E 2 nD E 2

= CDBE nD E 2

= i=1 n x i 2 i=1 n y i i=1 n x i y i i=1 n x i n i=1 n x i 2 ( i=1 n x i ) 2

= 1 n 2 i=1 n x i 2 i=1 n y i i=1 n x i y i i=1 n x i 1 n 2 n i=1 n x i 2 i=1 n x i 2

= 1 n i=1 n x i 2 1 n i=1 n y i 1 n i=1 n x i y i 1 n i=1 n x i 1 n i=1 n x i 2 1 n i=1 n x i 2

= 1 n i=1 n x i 2 1 n i=1 n y i 1 n i=1 n x i 2 1 n i=1 n y i + 1 n i=1 n x i 2 1 n i=1 n y i 1 n i=1 n x i y i 1 n i=1 n x i 1 n i=1 n x i 2 1 n i=1 n x i 2

= 1 n i=1 n x i 2 1 n i=1 n x i 2 1 n i=1 n y i 1 n i=1 n x i 1 n i=1 n x i y i 1 n i=1 n x i 1 n i=1 n y i 1 n i=1 n x i 2 1 n i=1 n x i 2

= 1 n i=1 n y i 1 n i=1 n x i y i 1 n i=1 n x i 1 n i=1 n y i 1 n i=1 n x i 2 1 n i=1 n x i 2 1 n i=1 n x i

= 1 n i=1 n y i a 1 n i=1 n x i

このとき Δ 2 は最小となる.

 

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最終更新日 2023年10月5日

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