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sinθ+cosθ＝Cが与えられている問題の解き方

三角関数の問題で，よく出題されるのが，${\displaystyle sin\theta +cos\theta =C}$  という条件が与えられ，${\displaystyle sin\theta }$，${\displaystyle cos\theta }$ からなる対称式の値を求めよというような問題がある．ただし， ${\displaystyle C}$は定数である．

この場合，${\displaystyle sin\theta +cos\theta =C}$ の両辺を2乗して，式を変形し${\displaystyle sin\theta cos\theta }$の値を求める．

${\displaystyle \begin{array}{l}{\left(sin\theta +cos\theta \right)}^2=C^2\end{array}}$ 

${\displaystyle \begin{array}{l}{sin}^2\theta +2sin\theta cos\theta +{cos}^2\theta =C^2\end{array}}$

${\displaystyle \begin{array}{l}1+2sin\theta cos\theta =C^2\end{array}}$　　${\displaystyle \begin{array}{l}\left(\because {sin}^2\theta +{cos}^2\theta =1\right)\end{array}}$

${\displaystyle sin\theta cos\theta =\frac{C^2-1}{2}}$

となり，${\displaystyle sin\theta cos\theta }$の値を求めることができる．対称式は，基本対称式で表わすことができるので

${\displaystyle \{\begin{array}{l}sin\theta +cos\theta =C\\ sin\theta cos\theta ={\displaystyle \frac{C^2-1}{2}}\end{array}}$

から，対称式の値を求めることができる．

　また，${\displaystyle sin\theta +cos\theta =C}$ のとき，${\displaystyle sin\theta }$，${\displaystyle cos\theta }$ の値を求めよという問題もよくある．

　この場合は，${\displaystyle sin\theta }$，${\displaystyle cos\theta }$ を2次方程式の解${\displaystyle \alpha }$，${\displaystyle \beta }$ と考えると

${\displaystyle \{\begin{array}{l}sin\theta +cos\theta =C\\ sin\theta cos\theta ={\displaystyle \frac{C^2-1}{2}}\end{array}}$

は解と係数の関係に相当するので

${\displaystyle x^2-Cx+\frac{C^2-1}{2}=0}$

の2次方程式の解を求めることにより，${\displaystyle sin\theta }$ ，${\displaystyle cos\theta }$ の値を求めることができる．

 

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最終更新日： 2023年3月10日

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