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正弦定理

正弦定理三角形の各辺 a , b , c と各角 A , B , C の間に以下に示す関係がある.

a sinA = b sinB = c sinC

この関係を,正弦定理という.

三角形の外接円の半径を R とすると,正弦定理

a sinA = b sinB = c sinC =2 R

となる.

■証明

三角形の頂点 C から辺 AB に垂線 CD を引く.

直角三角形 ACD と直角三角形 BCD ができる.

直角三角形の辺と三角比より

ACD より: sinA= CD AC CD=ACsinA

BCD より: sinB= CD BC CD=BCsinB

ACsinA=BCsinB

式を変形して

BC sinA = AC sinB

よって

a sinA = b sinB       ( a=BC,b=AC ) ・・・・・・(1)

同様にして

a sinA = c sinC   ・・・・・・(2)

b sinB = c sinC   ・・・・・・(3)

(1),(2),(3)より 

a sinA = b sinB = c sinC  

次に,△ ABC の外接円を描き,その円の中心を O ,半径を R とする. BO を延長して外接円と交わる点を A とする. BAC=B A C (∵円周角の定理)で, A CB=90° あることより

2RsinB A C=a  →  2RsinA=a ,すなわち, a sinA =2R

となる.よって,正弦定理は

a sinA = b sinB = c sinC =2 R

となる.


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最終更新日: 2023年3月10日

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