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正弦定理

三角形の各辺${\displaystyle a}$ ,${\displaystyle b}$ ,${\displaystyle c}$ と各角${\displaystyle \text{A}}$ ,${\displaystyle \text{B}}$ ,${\displaystyle \text{C}}$ の間に以下に示す関係がある．

${\displaystyle \frac{a}{sin\text{A}}=\frac{b}{sin\text{B}}=\frac{c}{sin\text{C}}}$

この関係を，正弦定理という．

三角形の外接円の半径を${\displaystyle R}$とすると，正弦定理は

${\displaystyle \frac{a}{sin\text{A}}=\frac{b}{sin\text{B}}=\frac{c}{sin\text{C}}=2R}$

となる．

■証明

三角形の頂点${\displaystyle \text{C}}$ から辺${\displaystyle \text{AB}}$ に垂線${\displaystyle \text{CD}}$ を引く．

直角三角形${\displaystyle \text{ACD}}$ と直角三角形${\displaystyle \text{BCD}}$ ができる．

直角三角形の辺と三角比より

△${\displaystyle \text{ACD}}$ より：${\displaystyle sin\text{A}=\frac{\text{CD}}{\text{AC}}\to \text{CD}=\text{AC}sin\text{A}}$

△${\displaystyle \text{BCD}}$ より：${\displaystyle sin\text{B}=\frac{\text{CD}}{\text{BC}}\to \text{CD}=\text{BC}sin\text{B}}$

$\therefore \text{AC}sin\text{A}=\text{BC}sin\text{B}$

式を変形して

${\displaystyle \frac{\text{BC}}{sin\text{A}}=\frac{\text{AC}}{sin\text{B}}}$

よって

${\displaystyle \frac{a}{sin\text{A}}=\frac{b}{sin\text{B}}\left(\because a=\text{B}\text{C},b=\text{A}\text{C}\right)}$ ･･････(1)

同様にして

${\displaystyle \frac{a}{sin\text{A}}=\frac{c}{sin\text{C}}}$   ･･････(2)

${\displaystyle \frac{b}{sin\text{B}}=\frac{c}{sin\text{C}}}$  ･･････(3)

(1)，(2)，(3)より　

${\displaystyle \frac{a}{sin\text{A}}=\frac{b}{sin\text{B}}=\frac{c}{sin\text{C}}}$　

次に，△${\displaystyle \text{ABC}}$ の外接円を描き，その円の中心を${\displaystyle \text{O}}$ ，半径を${\displaystyle R}$ とする．${\displaystyle \text{BO}}$ を延長して外接円と交わる点を${\displaystyle {\text{A}}^{\prime }}$ とする． ${\displaystyle \angle \text{BAC}=\angle \text{B}{\text{A}}^{\prime }\text{C}}$（∵円周角の定理）で，${\displaystyle \angle {\text{A}}^{\prime }\text{CB}=90°}$あることより

${\displaystyle 2Rsin\angle \text{B}{\text{A}}^{\prime }\text{C}=a}$  → ${\displaystyle 2Rsin\text{A}=a}$，すなわち，${\displaystyle \frac{a}{sin\text{A}}=2R}$

となる．よって，正弦定理は

${\displaystyle \frac{a}{sin\text{A}}=\frac{b}{sin\text{B}}=\frac{c}{sin\text{C}}=2R}$

となる．

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最終更新日： 2023年3月10日

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