Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js
関連するページを見るにはこのグラフ図を利用してください.

オイラーの公式による加法定理の導出

加法定理

cos(α±β)=cosαcosβsinαsinβ 

sin(α+β)=sinαcosβ±cosαsinβ 

オイラーの公式による加法定理の導出

指数が複素数でも底が自然対数の底 e の場合は指数法則ez1+z2=ez1·ez2が成り立つことより

ei(α±β)=eiα×e±iβ       

が得られる.右辺はオイラーの公式 eiθ=cosθ+isinθ より

eiα×e±iβ =(cosα+isinα)×(cos(±β)+isin(±β))

=cosαcos(±β)sinαsin(±β)+i(sinαcos(±β)+cosαsin(±β))

=cosαcosβsinαsinβ+i(sinαcosβ±cosαsinβ)  ・・・・・・・(1)

左辺もオイラーの公式より

ei(α±β)=cos(α±β)+isin(α±β) ・・・・・・・(2)

(1)=(2)より 

cos(α±β)=cosαcosβsinαsinβ 

sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ

となり加法定理が得られる.

実際には, ez1+z2=ez1·ez2が成り立つことを証明するのに加法定理を使っているので加法定理の証明にはならない. 

 

ホーム>>カテゴリー分類>>三角関数>>オイラーの公式による加法定理の導出

最終更新日 2023年3月2日

[ページトップ]

金沢工業大学

利用規約

google translate (English version)