積分　(cosx )^4

${\displaystyle \int {cos}^{4}xdx}$

次数下げを行なって計算する．

${\displaystyle \int {cos}^{4}xdx}$${\displaystyle =\int {\left({cos}^{2}x\right)}^{2}dx}$

半角の公式より

${\displaystyle =\int {\left(\frac{1+cos2x}{2}\right)}^{2}dx}$

${\displaystyle =\int \left(\frac{1}{4}+\frac{1}{2}cos2x+\frac{1}{4}{cos}^{2}2x\right)dx}$

再度，半角の公式を利用

${\displaystyle =\int \left(\frac{1}{4}+\frac{1}{2}cos2x+\frac{1}{4}\cdot \frac{1+cos4x}{2}\right)dx}$

${\displaystyle =\int \left(\frac{3}{8}+\frac{1}{2}cos2x+\frac{1}{8}cos4x\right)dx}$

${\displaystyle =\frac{3}{8}x+\frac{1}{4}sin2x+\frac{1}{32}sin4x+C}$　　（ C :積分定数)

 

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　 最終更新日：2023年1月30日