積分　(sinx )^4

${\displaystyle \int {sin}^{4}xdx}$

次数下げを行なって計算する．

${\displaystyle \int {sin}^{4}xdx}$${\displaystyle =\int {\left({sin}^{2}x\right)}^{2}dx}$

半角の公式より

${\displaystyle =\int {\left(\frac{1-cos2x}{2}\right)}^{2}dx}$

${\displaystyle =\int \left(\frac{1}{4}-\frac{1}{2}cos2x+\frac{1}{4}{cos}^{2}2x\right)dx}$

再度，半角の公式を利用

${\displaystyle =\int \left(\frac{1}{4}-\frac{1}{2}cos2x+\frac{1}{4}\cdot \frac{1+cos4x}{2}\right)dx}$

${\displaystyle =\int \left(\frac{3}{8}-\frac{1}{2}cos2x+\frac{1}{8}cos4x\right)dx}$

${\displaystyle =\frac{3}{8}x-\frac{1}{4}sin2x+\frac{1}{32}sin4x+C}$　　（ C :積分定数）

 

ホーム>>カテゴリー分類>>積分>>積分の具体事例>>積分　(sinx)^4

　 最終更新日：2023年1月30日