指数不等式の解法

底をそろえる（指数計算の手順に従う）．
$a^{x} > a^{k}$ $a^{x} > a^{k}$ （不等号は<，≧，≦の場合もある）の形に式を導びく．導けない場合は3へ
- $a > 1$ $a > 1$ の場合
  
  答えは $x > k$ $x > k$
- $0 < a < 1$ $0 < a < 1$ の場合
  
  答えは $x < k$ $x < k$ 注意：不等号の符号の向きが逆になる．
$a^{f (x)} > a^{k}$ $a^{f (x)} > a^{k}$ （不等号は<，≧，≦の場合もある）の形に式を導びく．導けない場合は4へ
- $a > 1$ $a > 1$ の場合
  
  答えは $f (x) > k$ $f (x) > k$ を解くことによって得られる．
- $0 < a < 1$ $0 < a < 1$ の場合
  
  答えは $f (x) < k$ $f (x) < k$ を解くことによって得られる．注意：不等号の符号の向きが逆になる．
方程式が $a^{x} > a^{k}$ $a^{x} > a^{k}$ の形に導けない場合は， $a^{x} = t$ $a^{x} = t$ とおいて整式に帰着する．このとき， $t > 0$ $t > 0$ に注意．

まず $t$ $t$ について解き，得られた $t$ $t$ より $x$ $x$ を求める．

例： $4^{x} - 2^{x} - 12 > 0$ $4^{x} - 2^{x} - 12 > 0$

この場合， $2^{x}$ $2^{x}$ に着目し， $2^{x} = t$ $2^{x} = t$ とおいて与式を以下のように解く

$\begin{array}{l} 4^{x} - 2^{x} - 12 > 0 \\ {(2^{2})}^{x} - 2^{x} - 12 > 0 \\ {(2^{x})}^{2} - 2^{x} - 12 > 0 \\ t^{2} - t - 12 > 0 \\ (t - 4) (t + 3) > 0 \end{array}$

$t > 0$ より $t > 4$

$x$ の式に直すと， $2^{x} > 4$ すなわち， $2^{x} > 2^{2}$

よって， $x > 2$

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最終更新日： 2024年10月4日